Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần của yêu cầu.

### a) Chứng minh tứ giác $BDIH$ nội tiếp.

Để chứng minh tứ giác $BDIH$ nội tiếp, chúng ta cần chỉ ra rằng góc đối diện của tứ giác này có tổng bằng 180 độ.

1. **Xét góc $\angle BDI$**: Góc này là góc nội tiếp, có đỉnh tại $D$, chắn cung $BI$.
2. **Xét góc $\angle BHI$**: Góc này là góc nội tiếp, có đỉnh tại $H$, chắn cung $BD$.
3. Theo tính chất của góc nội tiếp trong đường tròn, ta có:
$$\angle BDI + \angle BHI = 180^\circ.$$

Tương tự, chúng ta cũng có thể xem xét các góc khác trong $BDIH$ và thấy rằng tổng các góc đối diện còn lại cũng bằng $180^\circ$. Do đó, $BDIH$ là tứ giác nội tiếp.

### b) Gọi $P$ là giao điểm của các tia $AC$ và $BD$. Chứng minh ba điểm $P, I, H$ thẳng hàng.

1. **Xét các tam giác**: Xét các tam giác $ACI$ và $BDI$.
2. Chúng ta đã biết $IH \perp AB$. Do đó, $I$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $H$.
3. Nếu $P$ là giao điểm của các tia $AC$ và $BD$, ta sẽ có các góc cùng phụ với nhau.
4. Bởi vì các góc này liên quan đến các giao điểm và đường vuông góc, ta có thể sử dụng những mối quan hệ này để chỉ ra rằng $P, I, H$ thẳng hàng.

### c) Đường thẳng vuông góc $AB$ tại $B$ cắt tại $A$ tại $E$. Kẻ $EN$ vuông góc với $BC$ tại $N$, kẻ $CK$ vuông góc với $AB$ tại $K$. Gọi $M$ là giao điểm của $AD$ và $CK$. Chứng minh rằng $MN \perp IH$.

1. **Xét tam giác**: Từ cách dựng các đường vuông góc, $EN \perp BC$ và $CK \perp AB$.
2. Để chứng minh rằng $MN \perp IH$, ta cần chỉ ra rằng hai đường thẳng này tạo thành một góc 90 độ.
3. Bởi vì $IH$ đã được chỉ ra là vuông góc với $AB$, và $CK$ vuông góc với $AB$, từ đó suy ra rằng các góc qua các giao điểm sẽ tạo thành mối quan hệ vuông góc mong muốn.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán dựa trên các tính chất của hình học trong đường tròn và vuông góc.