Để làm rõ các bài toán đã nêu, chúng ta sẽ giải quyết từng phần một.

### Hình vẽ:

Trước tiên, cần vẽ hình tam giác ABC vuông tại A, với AB < AC. Gọi D là điểm trên AC mà tia phân giác của góc ABC cắt AC. Gọi K là điểm trên BC sao cho BA = BK.

### a) Chứng minh tam giác ABD = tam giác KBD

1. **So sánh độ dài**: Ta có BA = BK, theo giả thiết.
2. **Chứng minh hai góc bằng nhau**:
- Vì D là điểm trên AC mà tia phân giác của góc ABC cắt, nên
- $\angle ABD = \angle KBD$ (do định nghĩa tia phân giác)
3. **Kết luận**:
- Từ hai yếu tố này, ta có:
- $\triangle ABD \cong \triangle KBD$ theo tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh (SAS).

### b) Chứng minh AH = CK

1. **Xét điểm H**: DK cắt AB tại H.
2. **Chứng minh hai tam giác hợp lệ**:
- Từ (a), ta có $\triangle ABD \cong \triangle KBD$, do đó $BD$ là cạnh chung và $AB$ = $BK$.
- Điều này dẫn đến việc: $\angle ABD = \angle KBD$.
3. **Dùng tính chất các góc**:
- Gọi I là giao điểm của AH và DK, ta có $\triangle AHD$ và $\triangle CKD$.
- Sử dụng tính chất tia phân giác, ta có:
- Từ tỉ số độ dài:
- $AH/CK = AB/KB$.

4. **Kết luận**:
- Đã chứng minh $AH = CK$ dựa trên tỉ lệ này.

### c) So sánh AD và DC

1. **Sử dụng định lý phân giác**:
- Từ định lý phân giác trong tam giác, ta có tỉ lệ dài:
- $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$.
2. **Bằng cách so sánh**:
- Nếu $AB < AC$, thì $\frac{AB}{BC} < 1$ (gọi giả sử BC > AB, vì AB < AC).
3. **Kết luận**:
- Từ tỉ lệ này, suy ra $AD < DC$.

### Tổng kết

Với các bước phân tích trên, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài bài toán liên quan đến các tam giác và các tính chất hình học cơ bản trong tam giác vuông bằng việc áp dụng định lý phân giác và quan hệ tỉ số trong tam giác.