Giả sử d là ƯCLN của 2n + 1 và 3n - 1. Khi đó:
2n + 1 chia hết cho d
3n - 1 chia hết cho d
Ta có thể nhân tử số và mẫu số với các số nguyên để tạo ra các biểu thức mà khi trừ cho nhau, ta có thể loại bỏ n:
Nhân tử số với 3: 3(2n + 1) = 6n + 3 chia hết cho d
Nhân mẫu số với 2: 2(3n - 1) = 6n - 2 chia hết cho d
Tiếp theo, ta lấy hiệu của hai biểu thức này:
(6n + 3) - (6n - 2) = 5 chia hết cho d
Vì 5 là số nguyên tố, nên d chỉ có thể là 1 hoặc 5.
Nếu d = 5, thì 2n + 1 phải chia hết cho 5. Điều này có nghĩa là 2n + 1 = 5k với k là một số nguyên, hay 2n = 5k - 1.
Nếu d = 5, thì 3n - 1 phải chia hết cho 5. Điều này có nghĩa là 3n - 1 = 5m với m là một số nguyên, hay 3n = 5m + 1.
Ta cần chứng minh rằng không có giá trị n nào thỏa mãn cả hai điều kiện trên đồng thời.
Từ 2n = 5k - 1, ta có n = (5k - 1) / 2
Thay vào 3n = 5m + 1, ta có 3(5k - 1) / 2 = 5m + 1
15k - 3 = 10m + 2
15k - 10m = 5
3k - 2m = 1
Phương trình 3k - 2m = 1 có nghiệm nguyên, ví dụ k = 1, m = 1. Tuy nhiên, điều này không đảm bảo rằng 2n + 1 và 3n - 1 đồng thời chia hết cho 5 với cùng một giá trị n.
Để chứng minh chắc chắn, ta xét trường hợp n = 3 (từ k = 1).
2n + 1 = 2*3 + 1 = 7 (không chia hết cho 5)
3n - 1 = 3*3 - 1 = 8 (không chia hết cho 5)
Do đó, không có giá trị n nào làm cho cả 2n + 1 và 3n - 1 cùng chia hết cho 5.
Vậy d = 1, hay phân số (2n + 1) / (3n - 1) là phân số tối giản.