Bài 1: Giải các phương trình bậc hai.

1. 3x² - 7x - 10 = 0

   • Δ = (-7)² - 4 * 3 * (-10) = 49 + 120 = 169
   • x₁ = (7 + √169) / (2 * 3) = (7 + 13) / 6 = 20/6 = 10/3
   • x₂ = (7 - √169) / (2 * 3) = (7 - 13) / 6 = -6/6 = -1

2. x² - 3x + 2 = 0

   • Δ = (-3)² - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1
   • x₁ = (3 + √1) / (2 * 1) = (3 + 1) / 2 = 2
   • x₂ = (3 - √1) / (2 * 1) = (3 - 1) / 2 = 1

3. x² - 4x - 5 = 0

   • Δ = (-4)² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36
   • x₁ = (4 + √36) / (2 * 1) = (4 + 6) / 2 = 5
   • x₂ = (4 - √36) / (2 * 1) = (4 - 6) / 2 = -1

4. 3x² - 2√3x - 3 = 0

   • Δ = (-2√3)² - 4 * 3 * (-3) = 12 + 36 = 48
   • x₁ = (2√3 + √48) / (2 * 3) = (2√3 + 4√3) / 6 = 6√3 / 6 = √3
   • x₂ = (2√3 - √48) / (2 * 3) = (2√3 - 4√3) / 6 = -2√3 / 6 = -√3 / 3

5. x² - (1 + √2)x + √2 = 0

   • Δ = (-(1 + √2))² - 4 * 1 * √2 = 1 + 2√2 + 2 - 4√2 = 3 - 2√2 = (√2 - 1)²
   • x₁ = (1 + √2 + √(√2 - 1)²) / 2 = (1 + √2 + √2 - 1) / 2 = 2√2 / 2 = √2
   • x₂ = (1 + √2 - √(√2 - 1)²) / 2 = (1 + √2 - √2 + 1) / 2 = 2 / 2 = 1

6. √3x² - (1 - √3)x - 1 = 0

   • Δ = (-(1 - √3))² - 4 * √3 * (-1) = 1 - 2√3 + 3 + 4√3 = 4 + 2√3
   • x₁ = ((1 - √3) + √(4 + 2√3)) / (2√3) = ((1 - √3) + (√3 + 1)) / (2√3) = 2 / (2√3) = 1/√3 = √3/3
   • x₂ = ((1 - √3) - √(4 + 2√3)) / (2√3) = ((1 - √3) - (√3 + 1)) / (2√3) = -2√3 / (2√3) = -1

7. (2 + √3)x² - 2√3x - 2 + √3 = 0

   • Δ = (-2√3)² - 4 * (2 + √3) * (-2 + √3) = 12 - 4 * (-4 + 2√3 - 2√3 + 3) = 12 - 4 * (-1) = 12 + 4 = 16
   • x₁ = (2√3 + √16) / (2 * (2 + √3)) = (2√3 + 4) / (4 + 2√3) = 1
   • x₂ = (2√3 - √16) / (2 * (2 + √3)) = (2√3 - 4) / (4 + 2√3) = (2√3 - 4) * (4 - 2√3) / ((4 + 2√3) * (4 - 2√3)) = (8√3 - 12 - 16 + 8√3) / (16 - 12) = (16√3 - 28) / 4 = 4√3 - 7

Bài 2: Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có nghiệm.

a) x² - x - 2m = 0

• Δ = (-1)² - 4 * 1 * (-2m) = 1 + 8m
• Để phương trình có nghiệm, Δ ≥ 0 => 1 + 8m ≥ 0 => 8m ≥ -1 => m ≥ -1/8

b) 5x² + 3x + m - 1 = 0

• Δ = 3² - 4 * 5 * (m - 1) = 9 - 20m + 20 = 29 - 20m
• Để phương trình có nghiệm, Δ ≥ 0 => 29 - 20m ≥ 0 => 20m ≤ 29 => m ≤ 29/20

c) mx² - x - 5 = 0

• Trường hợp 1: m = 0
  • Phương trình trở thành -x - 5 = 0 => x = -5 (có nghiệm)
• Trường hợp 2: m ≠ 0
  • Δ = (-1)² - 4 * m * (-5) = 1 + 20m
  • Để phương trình có nghiệm, Δ ≥ 0 => 1 + 20m ≥ 0 => 20m ≥ -1 => m ≥ -1/20
• Kết hợp cả hai trường hợp, phương trình có nghiệm khi m ≥ -1/20 hoặc m = 0. Tuy nhiên, m = 0 đã nằm trong khoảng m ≥ -1/20, nên kết quả cuối cùng là m ≥ -1/20.

d) (m² + 1)x² - 2(m + 3)x + 1 = 0

• Δ = (-2(m + 3))² - 4 * (m² + 1) * 1 = 4(m² + 6m + 9) - 4(m² + 1) = 4m² + 24m + 36 - 4m² - 4 = 24m + 32
• Để phương trình có nghiệm, Δ ≥ 0 => 24m + 32 ≥ 0 => 24m ≥ -32 => m ≥ -32/24 => m ≥ -4/3

Bài 3: Cho phương trình x² - x - 2m = 0

a) Giải phương trình với m = -1

• Phương trình trở thành x² - x + 2 = 0
• Δ = (-1)² - 4 * 1 * 2 = 1 - 8 = -7
• Vì Δ < 0, phương trình vô nghiệm.

b) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm kép

• Δ = (-1)² - 4 * 1 * (-2m) = 1 + 8m
• Để phương trình có nghiệm kép, Δ = 0 => 1 + 8m = 0 => 8m = -1 => m = -1/8

Bài 4: Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt.

a) 3x² - 2x + m = 0

• Δ = (-2)² - 4 * 3 * m = 4 - 12m
• Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, Δ > 0 => 4 - 12m > 0 => 12m < 4 => m < 4/12 => m < 1/3

b) x² + 2(m - 1)x - 2m + 5 = 0

• Δ = (2(m - 1))² - 4 * 1 * (-2m + 5) = 4(m² - 2m + 1) + 8m - 20 = 4m² - 8m + 4 + 8m - 20 = 4m² - 16
• Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, Δ > 0 => 4m² - 16 > 0 => 4m² > 16 => m² > 4 => |m| > 2 => m > 2 hoặc m < -2