### Bài 1:
Cho biểu thức
$$M = \frac{x+3}{x-2} + \frac{x-3}{x+2} - \frac{2x^2 + 3x + 6}{x^2 - 4}$$
với $x \neq 2$ và $x \neq -2$.

Đầu tiên, ta nhận xét rằng $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$, vì vậy:
$$M = \frac{x+3}{x-2} + \frac{x-3}{x+2} - \frac{2x^2 + 3x + 6}{(x-2)(x+2)}$$

Ta đưa các phần của biểu thức $M$ về cùng mẫu.

**Mẫu chung sẽ là**: $(x-2)(x+2)$.

Do đó, ta sẽ có:
$$M = \frac{(x+3)(x+2) + (x-3)(x-2) - (2x^2 + 3x + 6)}{(x-2)(x+2)}$$

Bây giờ tính từng mục trong tử số:

1. $(x+3)(x+2) = x^2 + 5x + 6$
2. $(x-3)(x-2) = x^2 - 5x + 6$
3. $-(2x^2 + 3x + 6) = -2x^2 - 3x - 6$

Ghép lại tất cả vào tử số:
$$Tử = (x^2 + 5x + 6) + (x^2 - 5x + 6) - (2x^2 + 3x + 6)$$
$$= x^2 + 5x + 6 + x^2 - 5x + 6 - 2x^2 - 3x - 6$$
$$= 0 + (5x - 5x - 3x) + (6 + 6 - 6)$$
$$= -3x + 6$$

Vì vậy
$$M = \frac{-3x + 6}{(x-2)(x+2)}$$

Bây giờ lấy giá trị tại $x = 3$:
$$M = \frac{-3(3) + 6}{(3-2)(3+2)} = \frac{-9 + 6}{1 \cdot 5} = \frac{-3}{5}$$

**Vậy $M$ tại $x = 3$ là $-\frac{3}{5}$**.

### Bài 2:
Cho biểu thức
$$A = \frac{a + 2}{a + 1} - \frac{a - 2}{a - 1}, \quad B = \frac{3}{a^2 - 1}$$
với $a \neq 0, a \neq 1, a \neq -1$.

Ta tìm $A$ trước:
$$A = \frac{(a + 2)(a - 1) - (a - 2)(a + 1)}{(a + 1)(a - 1)}$$
Tính tổng các phần tử:
1. $(a + 2)(a - 1) = a^2 + 2a - a - 2 = a^2 + a - 2$
2. $(a - 2)(a + 1) = a^2 - 2a + a - 2 = a^2 - a - 2$

Áp dụng vào:
$$A = \frac{(a^2 + a - 2) - (a^2 - a - 2)}{(a + 1)(a - 1)} = \frac{a^2 + a - 2 - a^2 + a + 2}{(a + 1)(a - 1)} = \frac{2a}{(a + 1)(a - 1)}$$

Đặt điều kiện $A = 2B$:
$$2 \cdot \frac{2a}{(a + 1)(a - 1)} = 2 \cdot \frac{3}{a^2 - 1}$$
Rút gọn:
$$\frac{4a}{(a + 1)(a - 1)} = \frac{6}{a^2 - 1}$$
Tử này sẽ quy về:
$$4a(a^2 - 1) = 6(a^2 - 1)$$

Giải ra:
$$4a(a - 1)(a + 1) = 6 \Rightarrow 4a^3 - 4a - 6 = 0$$

Giải phương trình này để tìm $a$.

### Bài 3:
Phương trình
$$\frac{2}{3}(x + m) - x + \frac{1}{2} = 0$$
cho $x = 3$ là nghiệm, thay giá trị:
$$\frac{2}{3}(3 + m) - 3 + \frac{1}{2} = 0$$

Giải phương trình này:
$$\frac{2(3 + m)}{3} - 3 + \frac{1}{2} = 0$$
$$\frac{2(3+m)}{3} = 3 - \frac{1}{2} \\ $$
$$\frac{2(3 + m)}{3} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$$
Giải cho $m$:
$$2(3 + m) = \frac{15}{2} \\ 3 + m = \frac{15}{4} \\ m = \frac{15}{4} - 3 = \frac{15}{4} - \frac{12}{4} = \frac{3}{4}$$

Vậy $m = \frac{3}{4}$.