1) Chứng minh BHCF là tứ giác nội tiếp:

• Xét tứ giác BHCF, ta có:
  • ∠BHC = 90° (EH ⊥ AB)
  • ∠BFC = 90° (AB là đường kính, C thuộc đường tròn)
• Hai góc đối ∠BHC và ∠BFC có tổng bằng 180°.
• Vậy tứ giác BHCF là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp).

2) Chứng minh HA.HB = HE.HF:

• Xét tam giác vuông ABE (∠ABE = 90°), đường cao EH, ta có:
  • HE² = HA.HB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
• Xét tam giác vuông AFE (∠AFE = 90°), đường cao EH, ta có:
  • HE² = HF.HE (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
• Từ đó suy ra HA.HB = HE.HF.

3) Chứng minh CM là tiếp tuyến của (O):

• Gọi I là giao điểm của CM và đường tròn (O).
• Ta cần chứng minh ∠CIO = 90°.
• Xét tam giác CEF, M là trung điểm EF, ta có CM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền EF.
• Do đó, CM = ME = MF.
• Suy ra tam giác CME cân tại M, tam giác CMF cân tại M.
• Gọi O là tâm đường tròn (O), ta có OC = OI = R.
• Xét tam giác COI, ta cần chứng minh ∠CIO = 90°.

4) Xác định vị trí của điểm D để chu vi tứ giác ABDC lớn nhất:

• Chu vi tứ giác ABDC là: AB + BD + DC + CA.
• AB và AC là cố định.
• Để chu vi tứ giác ABDC lớn nhất, ta cần BD + DC lớn nhất.
• Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: BD + DC ≥ BC.
• Dấu "=" xảy ra khi D nằm trên đoạn BC.
• Tuy nhiên, D không trùng với B và C.
• Vậy để BD + DC lớn nhất, D phải nằm trên cung BC sao cho BD = DC.
• Khi đó, D là điểm chính giữa cung BC.

Tóm lại:

• Vị trí của điểm D để chu vi tứ giác ABDC lớn nhất là điểm chính giữa cung BC.