1) Chứng minh BHCF là tứ giác nội tiếp:
- Xét tứ giác BHCF, ta có:
- ∠BHC = 90° (EH ⊥ AB)
- ∠BFC = 90° (AB là đường kính, C thuộc đường tròn)
- Hai góc đối ∠BHC và ∠BFC có tổng bằng 180°.
- Vậy tứ giác BHCF là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp).
2) Chứng minh HA.HB = HE.HF:
- Xét tam giác vuông ABE (∠ABE = 90°), đường cao EH, ta có:
- HE² = HA.HB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
- Xét tam giác vuông AFE (∠AFE = 90°), đường cao EH, ta có:
- HE² = HF.HE (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
- Từ đó suy ra HA.HB = HE.HF.
3) Chứng minh CM là tiếp tuyến của (O):
- Gọi I là giao điểm của CM và đường tròn (O).
- Ta cần chứng minh ∠CIO = 90°.
- Xét tam giác CEF, M là trung điểm EF, ta có CM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền EF.
- Do đó, CM = ME = MF.
- Suy ra tam giác CME cân tại M, tam giác CMF cân tại M.
- Gọi O là tâm đường tròn (O), ta có OC = OI = R.
- Xét tam giác COI, ta cần chứng minh ∠CIO = 90°.
4) Xác định vị trí của điểm D để chu vi tứ giác ABDC lớn nhất:
- Chu vi tứ giác ABDC là: AB + BD + DC + CA.
- AB và AC là cố định.
- Để chu vi tứ giác ABDC lớn nhất, ta cần BD + DC lớn nhất.
- Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: BD + DC ≥ BC.
- Dấu "=" xảy ra khi D nằm trên đoạn BC.
- Tuy nhiên, D không trùng với B và C.
- Vậy để BD + DC lớn nhất, D phải nằm trên cung BC sao cho BD = DC.
- Khi đó, D là điểm chính giữa cung BC.
Tóm lại:
- Vị trí của điểm D để chu vi tứ giác ABDC lớn nhất là điểm chính giữa cung BC.