Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $A = x + \frac{5}{\sqrt{x}}$ với $x > 0$, chúng ta có thể sử dụng phương pháp phân tích đạo hàm.

1. **Tính đạo hàm của hàm số A**:

$$A' = \frac{d}{dx} \left( x + \frac{5}{\sqrt{x}} \right) = 1 - \frac{5}{2} \cdot x^{-\frac{3}{2}} = 1 - \frac{5}{2\sqrt{x^3}}$$

2. **Tìm điểm dừng của hàm số**:

Để tìm điểm cực trị chúng ta giải phương trình $A' = 0$:

$$1 - \frac{5}{2\sqrt{x^3}} = 0 \implies \frac{5}{2\sqrt{x^3}} = 1 \implies 2\sqrt{x^3} = 5 \implies \sqrt{x^3} = \frac{5}{2}$$

Bình phương cả hai vế:

$$x^3 = \left( \frac{5}{2} \right)^2 = \frac{25}{4} \implies x = \left( \frac{25}{4} \right)^{\frac{1}{3}} = \frac{5}{2^{\frac{2}{3}}}$$

3. **Tính giá trị $A$ tại điểm này**:

Tính $A$ tại $x = \left( \frac{25}{4} \right)^{\frac{1}{3}}$:

$$A\left( \left( \frac{25}{4} \right)^{\frac{1}{3}} \right) = \left( \frac{25}{4} \right)^{\frac{1}{3}} + \frac{5}{\sqrt{\left( \frac{25}{4} \right)^{\frac{1}{3}}}}$$

Giả sử $x = \frac{5}{2^{\frac{2}{3}}}$:

Tính $A$:

$$\sqrt{x} = \sqrt{\frac{5}{2^{\frac{2}{3}}}} = \frac{\sqrt{5}}{2^{\frac{1}{3}}} \implies A = \frac{5}{2^{\frac{2}{3}}} + \frac{5}{\frac{\sqrt{5}}{2^{\frac{1}{3}}}} = \frac{5}{2^{\frac{2}{3}}} + \frac{5 \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{5}} = \frac{5}{2^{\frac{2}{3}}} + \frac{5\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{3}}}$$

Tính cả hai giá trị, ta sẽ có:

$$A = \frac{5(1 + \sqrt{2})}{2^{\frac{2}{3}}}$$

4. **Xác định tính chất cực trị**:

Kiểm tra bằng đạo hàm bậc 2 hoặc dựa vào đạo hàm bậc 1 để xác định điểm cực trị là cực tiểu.

Tóm lại, giá trị nhỏ nhất của hàm số $A = x + \frac{5}{\sqrt{x}}$ cho $x > 0$ là:

$$A_{\min} = \frac{5(1+\sqrt{2})}{2^{\frac{2}{3}}}$$

Kết quả này có thể được tính toán cụ thể nếu cần một số cụ thể hơn.