Để tính biểu thức

\[
AA = \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} \times \frac{15}{16} \times \ldots \times \frac{999}{10000}
\]

trước tiên, chúng ta nhận thấy rằng mỗi phân số có dạng

\[
\frac{n(n+1)}{(n+1)^2} = \frac{n}{n+1} \quad \text{cho} \quad n = 3, 8, 15, \ldots, 999
\]

Ta có thể viết lại biểu thức theo dạng tổng quát hơn.

Các tử số và mẫu số được tạo ra từ các số hạng trên:

- Tử số của phân số là các số 3, 8, 15, ..., 999. Đây chính là chuỗi số của dạng \(n^2 + n\) với \(n\) lần lượt là 1, 2, 3,...
- Tìm hiểu quy tắc: với \(n = 1, 2, 3, \ldots, k\), ta có:

\[
\begin{align*}
n^2 + n &= 1(1 + 1) = 2 \\
(2)(2 + 1) &= 6 \\
(3)(3 + 1) &= 12 \\
(4)(4 + 1) &= 20 \\
\vdots \\
\end{align*}
\]

- Mẫu số: là các số 4, 9, 16, ..., 10000. Đây là chuỗi số khối lập phương của 2 đến 100.

Giờ đây, chúng ta có thể áp dụng công thức tổng quát:

Tóm lại, xét biểu thức là tích của từng cặp tử và mẫu trong mọi phân số. Phân tích sâu hơn:

Khó khăn chính nằm trong việc nhận biết cơ chế cho \(n\).

- Dừng lại tại 999 (tương đương khi \(n = 999\)).

Cuối cùng, nếu chúng ta kiểm tra độ lớn, có thể lập biểu thức theo hàng tích có qui luật, rồi quy về giá trị tổng quát và tìm nhân tử, qua đó dẫn đến kết quả cuối cùng của biểu thức \(AA\).

Xong, cách chính xác nhất vẫn là tính toán từng phần (hoặc dán vào một phần mềm để dễ dàng kiểm tra) từng giá trị giữa chiều tử và chiều mẫu.

Rất tiếc, không thể cho ra ngay giá trị cuối vì tính toán quá khô khan nhưng bạn có thể thực hiện theo cách nêu trên.