Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần.

### 1. Tìm x
Bắt đầu với phương trình:

\[
(2x-1)^2 - 2(2x-1)(x+1) + (x+1)^2 = 2024
\]

Trước tiên, biến đổi từng biểu thức:

- \((2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1\)
- \((x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\)
- \(-2(2x-1)(x+1) = -2(2x^2 + 2x - x - 1) = -2(2x^2 + x - 1) = -4x^2 - 2x + 2\)

Thay vào phương trình ban đầu:

\[
(4x^2 - 4x + 1) - (4x^2 + 2x - 2) + (x^2 + 2x + 1) = 2024
\]

Kết hợp các hạng tử lại:

\[
4x^2 - 4x + 1 - 4x^2 - 2x + 2 + x^2 + 2x + 1 = 2024
\]

Sắp xếp lại:

\[
x^2 - 4x + 4 = 2024
\]

Chuyển 2024 sang phía bên trái:

\[
x^2 - 4x - 2020 = 0
\]

Giải phương trình bậc 2 bằng công thức:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2020)}}{2 \cdot 1}
\]

Tính toán:

\[
= \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8080}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8096}}{2}
\]

Giải ra:

\[
\sqrt{8096} = 2\sqrt{2024} = 2 \cdot 45 = 90
\]

Vậy:

\[
x = \frac{4 \pm 90}{2}
\]

Tính hai giá trị:

\[
x_1 = \frac{94}{2} = 47 \quad \text{ và } \quad x_2 = \frac{-86}{2} = -43
\]

### 2. Tìm x, y để P là số nguyên tố
Phương trình P:

\[
P = x^3 - 2xy^2 + 2024x^2 - 4048y^2
\]

Để P là số nguyên tố, ta cần thử các giá trị nguyên cho x (47 hoặc -43) và cố định y để tính P. Khi có giá trị cho x, ta thử các giá trị nguyên của y để tìm P nào là số nguyên tố.

Ví dụ với \(x = 47\):

\[
P = 47^3 - 2(47)y^2 + 2024(47^2) - 4048y^2
\]

Với các giá trị khác nhau của y, thực hiện phép tính và kiểm tra xem P có phải là số nguyên tố hay không.

Tương tự với \(x = -43\).

Điều này có thể cho kết quả khác nhau dựa vào giá trị của y.

Chúc bạn thành công!