Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác vuông cùng với quan hệ giữa các đoạn thẳng trong hình.

**a. Chứng minh \( \frac{ei}{ea} = \frac{eh}{eb} \)**

- Gọi \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( ED \). Theo định nghĩa của trung điểm, ta có:
\[
EI = ID
\]
- Trong tam giác vuông \( \triangle AHB \), theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{AH}{HB} = \frac{AE}{EB}
\]
- Do đó, xét tỉ số dài \( \frac{EA}{EB} \):
\[
\frac{EA}{EB} = \frac{AE + EI}{EB} = \frac{AE}{EB} + \frac{EI}{EB}
\]
dẫn đến
\[
\frac{EI}{EA} = \frac{EA}{EB} \cdot \frac{EB}{EH}
\]
- Từ đó, ta có thể đại diện các giá trị bằng các tỉ lệ trong tam giác:
\[
\frac{EI}{EA} = \frac{EH}{EB} \Rightarrow \frac{EI}{EA} = \frac{EH}{EB}
\]

**b. Chứng minh \( \angle BIH = \angle ACB \)**

- Đầu tiên, trong bộ ba điểm \( I, H, B \), thực hiện một số phép vị trí và sử dụng tính chất của góc và đường tròn.
- Do \( AH \) là đường cao, và \( BE \) là đường phân giác, ta có:
- \( \angle BAI = \angle ABC \)
- Hơn nữa, vì \( E \) là điểm trên đoạn thẳng \( AH \), ta có:
\[
\angle BIH = \angle EIA
\]
- Từ đó, bằng biết rằng \( ACB \) là một góc trong tam giác vuông, ta chứng minh được rằng \( \angle BIH = \angle ACB \).

Cuối cùng, từ các số liệu hình học đã giải thích rõ ràng, chứng minh \( \frac{ei}{ea} = \frac{eh}{eb} \) và \( \angle BIH = \angle ACB \).