87.
a. x^4 + ax + b chia hết cho x^2 - 4
<=> x^4 + ax + b chia hết cho (x - 2)(x + 2)
<=> x = 2 và x = -2 là nghiệm của pt
=> 16 + 2a + b = 0 và 16 - 2a + b = 0
<=> 2a + b = -16 và 2a - b = 16
<=> a = 0 và b = -16
b. x^4 + ax^3 + bx - 1 chia hết cho x^2 - 1
<=> x^4 + ax^3 + bx - 1 chia hết cho (x - 1)(x + 1)
<=> x = 1 và x = -1 là nghiệm của pt
=> 1 + a + b - 1 = 0 và 1 - a - b - 1 = 0
<=> a + b = 0 và a - b = 0
<=> a = b = 0

95.
a. Ta có
      a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b)
= a^2(b - c) - b^2.[(b - c) + (a - b)] + c^2(a - b)
= (b - c)(a^2 - b^2) - (a - b)(b^2 - c^2)
= (b - c)(a - b)(a + b) - (a - b)(b - c)(b + c)
= (a - b)(b - c)(a - c)
     ab^2 - ac^2 - b^3 + bc^2
= a(b^2 - c^2) - b(b^ 2 - c^2)
= (a - b)(b^2 - c^2)
= (a - b)(b - c)(b + c)
=> [a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b)]/(ab^2 - ac^2 - b^3 + bc^2)
= (a - b)(b - c)(a - c)/(a - b)(b - c)(b + c)
= (a - c)/(b + c)
b. (2x^3 - 7x^2 - 12x + 45)/(3x^3 - 19x^2 + 33x - 9)
= (2x + 5)(x - 3)^2/(3x - 1)(x - 3)^2
= (2x + 5)/(3x - 1)

95.
c. Ta có
x^3 - y^3 + z^3 + 3xyz
= (x - y)^3 + 3xy(x - y) + z^3 + 3xyz
= (x - y + z)^3 - 3(x - y)z(x - y + z) + 3xy(x - y + z)
= (x - y + z)^3 + 3(x - y + z)(xy - xz + yz)
= (x - y + z)(x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz - xz)
(x + y)^2 + (y + z)^2 + (z - x)^2
= 2(x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz - zx)
=> ( x^3 - y^3 + z^3 + 3xyz)/[(x + y)^2 + (y + z)^2 + (z - x)^2]
= (x - y + z)(x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz - xz)/2(x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz - zx)
= (x - y + z)/2
d. Ta có
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz
= (x + y)^3 - 3xy(x + y) + z^3 - 3xyz
= (x + y + z)^3 - 3(x + y)z(x + y + z) - 3xy(x + y + z)
= (x + y + z)^3 - 3(x + y + z)(xy + xz + yz)
= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz)
(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2
= 2(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)
=> ( x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)/[(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2]
= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz)/2(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)
= (x + y + z)/2

96.
a. G/S (3n + 1 ; 5n + 2) = d (d là số nguyên tố)
=> 3n + 1 ⋮ d và 5n + 2 ⋮ d
=> 3(5n + 2) - 5(3n + 1) ⋮ d
=> 15n + 6 - (15n + 5) ⋮ d
<=> 1 ⋮ d
=> d = 1, vô lí.
=> (3n + 1 ; 5n + 2) = 1
Vậy (3n + 1)/(5n + 2) là phân số tối giản
b. G/s (12n + 1;30n + 2) = d (d là số nguyên tố)
=> 12n + 1 ⋮ d và 30n + 2 ⋮ d
=> 5(12n + 1) - 2(30n + 2) ⋮ d
<=> 60n + 5 - 60n - 4 ⋮ d
<=> 1 ⋮ d
=> d = 1, vô lí
=> (12n + 1;30n + 2) = 1
Vậy (12n + 1)/(30n + 2) là phân số tối giản

96
c. Giả sử (n^3 + 2n,n^4 + 3n^2 + 1) = d (d là số nguyên tố)
=> n^3 + 2n ⋮ d và n^4 + 3n^2 + 1 ⋮ d
=> n^4 + 3n^2 + 1 - n(n^3 + 2n) ⋮ d (Do n là số tự nhiên)
<=> n^4 + 3n^2 + 1 - n^4 - 2n^2 ⋮ d
<=> n^2 + 1 ⋮ d (1)
=> n^3 + 2n - n(n^2 + 1) ⋮ d
<=> n^3 + 2n - n^3 - n ⋮ d
<=> n ⋮ d (2)
Từ (1) và (2) => 1 ⋮ d
=> d = 1, vô lí
=> (n^3 + 2n,n^4 + 3n^2 + 1) = 1
Vậy (n^3 + 2n)/(n^4 + 3n^2 + 1) là phân số tối giản
d. Giả sử (2n + 1,2n^2 - 1) = d (d là số nguyên tố)
=> 2n + 1 ⋮ d và 2n^2 - 1 ⋮ d
=> (2n - 1)(2n + 1) - 2(2n^2 - 1) ⋮ d (Do n là số tự nhiên)
<=> 4n^2 - 1 - (4n^2 - 2) ⋮ d
<=> 1 ⋮ d
=> d = 1, vô lí
=> (2n + 1,2n^2 - 1) = 1
Vậy (2n + 1)/(2n^2 - 1) là phân số tối giản

97.
Ta có
n^7 + n^2 + 1
= (n^7 + n^6 + n^5) - (n^6 + n^5 + n^4) + (n^4 + n^3 + n^2) - (n^3 + n^2 + n) + (n^2 + n + 1)
= n^5(n^2 + n + 1) - n^4(n^2 + n + 1) + n^2(n^2 + n + 1) - n(n^2 + n + 1) + (n^2 + n + 1)
= (n^2 + n + 1)(n^5 - n^4 + n^2 - n + 1)
n^8 + n + 1
= (n^8 + n^7 + n^6) - (n^7+ n^6 + n^5) + (n^5 + n^4 + n^3) - (n^4 + n^3 + n^2) + (n^2 + n + 1)
= n^6(n^2 + n + 1) - n^5(n^2 + n + 1) + n^3(n^2 + n + 1) - n^2(n^2 + n + 1) + (n^2 + n + 1)
= (n^2 + n + 1)(n^6 - n^5 + n^3 - n^2 + 1)
Do đó,
(n^7 + n^2 + 1)/(n^8 + n + 1)
= (n^2 + n + 1)(n^5 - n^4 + n^2 - n + 1)/(n^2 + n + 1)(n^6 - n^5 + n^3 - n^2 + 1)
= (n^5 - n^4 + n^2 - n + 1)/(n^6 - n^5 + n^3 - n^2 + 1)
Vậy phân số (n^7 + n^2 + 1)/(n^8 + n + 1) không tối giản với mọi số nguyên dương n

98.
Ta có
(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)(x^4 - x^2 + 1)(x^8 - x^4 + 1)(x^16 - x^8 + 1)(x^32 - x^16 + 1)
= [(x^2 + 1)^2 - x^2](x^4 - x^2 + 1)(x^8 - x^4 + 1)(x^16 - x^8 + 1)(x^32 - x^16 + 1)
= (x^4 + x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)(x^8 - x^4 + 1)(x^16 - x^8 + 1)(x^32 - x^16 + 1)
= [(x^4 + 1)^2 - x^4)(x^8 - x^4 + 1)(x^16 - x^8 + 1)(x^32 - x^16 + 1)
= (x^8 + x^4 + 1)(x^8 - x^4 + 1)(x^16 - x^8 + 1)(x^32 - x^16 + 1)
= [(x^8 + 1)^2 - x^8](x^16 - x^8 + 1)(x^32 - x^16 + 1)
= (x^16 + x^8 + 1)(x^16 - x^8 + 1)(x^32 - x^16 + 1)
= [(x^16 + 1)^2 - x^16](x^32 - x^16 + 1)
= (x^32 + x^16 + 1)(x^32 - x^16 + 1)
= (x^32 + 1)^2 - x^32
= x^64 + x^32 + 1
Vậy:
(x^2 - x + 1)(x^4 - x^2 + 1)(x^8 - x^4 + 1)(x^16 - x^8 + 1)(x^32 - x^16 + 1) = (x^64 + x^32 + 1)/((x^2 + x + 1)

99.
  Ta có
      (ax + by + cz)^2/(x^2 + y^2 + z^2) = a^2 + b^2 + c^2
<=> (ax + by + cz)^2 = (a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)
<=> a^2.x^2 + b^2.y^2 + c^2.z^2 + 2axby + 2bycz + 2czax = a^2.x^2 + a^2.y^2 + a^2.z^2 + b^2.x^2 +
                                                                                   b^2.y^2 + b^2.z^2 + c^2.x^2 + c^2.y^2 + c^2.z^2
<=> a^2.y^2 + a^2.z^2 + b^2.x^2 + b^2.z^2 + c^2.x^2 + c^2.y^2 - 2axby -  2bycz - 2axcz = 0
<=> (a^2.y^2 - 2axby + b^2.x^2) + (a^2.z^2 - 2axcz + c^2.x^2) + (b^2.z^2 - 2bycz + c^2.y^2) = 0
<=> (ay - bx)^2 + (az - cx)^2 + (bz - cy)^2 = 0
<=> ay - bx = az - cx = bz - cy = 0
<=> ay = bx ; az = cx và bz = cy
<=> a/x = b/y ; a/x = c/z và b/y = c/z
<=> a/x = b/y = c/z
  Vậy ta có đpcm

101.
Do x + y + z = 0 nên (x + y + z)^2 = 0
<=> x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx = 0
<=> x^2 + y^2 + z^2 = -2(xy + yz + zx)
Do vậy, ta được
(x^2 + y^2 + z^2)/[(y - z)^2 + (z - x)^2 + (x - y)^2]
= (x^2 + y^2 + z^2)/2(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz)
= -2(xy + yz + xz)/2(-2xy - 2yz - 2xz - xy - yz - xz)
= -2(xy + yz + xz)/(-6)(xy + yz + xz)
= (-2)/(-6)
= 1/3