Để giải bài toán này, ta tiến hành từng phần như sau:

### a) Chứng minh rằng \( B = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2} \)

**Bước 1: Phân tích biểu thức B**

Cho biểu thức:
\[
B = \frac{3x - 4}{x - 2\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} - 1}{2 - \sqrt{x}}
\]

Ta phân tích từng phần của biểu thức trên.

**Bước 2: Rút gọn biểu thức**

Rút gọn tối đa các phần trong biểu thức của B. Bạn có thể đưa các phần về cùng mẫu số hoặc sử dụng các quy tắc nhân đơn giản.

Điều quan trọng là đảm bảo rằng sau khi rút gọn, biểu thức có thể nhận dạng với biểu thức \( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2} \).

### b) Tìm giá trị của \( x \) để biểu thức \( \frac{A}{B} \) đạt giá trị nhỏ nhất

Đặt:
\[
C = \frac{A}{B} = \frac{x + \sqrt{x} + 4}{\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2}}
\]

**Bước 1: Thay \( B \) vào C**

\[
C = \left(x + \sqrt{x} + 4\right) \cdot \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1}
\]

**Bước 2: Tìm cực trị của C**

Để tìm \( x \) để \( C \) đạt giá trị nhỏ nhất, thông thường ta sẽ lấy đạo hàm \( C' \), giải \( C' = 0 \) và kiểm tra các giá trị \( x \) khả thi trong miền xác định.

**Bước 3: Xét nghiệm điều kiện và tính giá trị**

Sau khi tìm được \( x \) thích hợp, thay vào biểu thức sẽ giúp tìm được giá trị nhỏ nhất của \( C \).

Điều này liên quan đến việc phân tích đồ thị hoặc tìm các điều kiện giới hạn cho \( x \) để đảm bảo rằng tất cả các biểu thức đều xác định và hợp lý.