Để chứng minh đẳng thức \( HD \cdot FA = HE \cdot FD \) và chứng minh rằng \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( DF \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất về hình học trong tam giác và các đường tròn.

**Chứng minh \( HD \cdot FA = HE \cdot FD \)**:

1. **Sử dụng định lý sine trong tam giác**: Theo định lý sine trong tam giác \( AHE \) và tam giác \( HDF \), ta có:

\[
\frac{HE}{\sin \angle AHE} = \frac{HD}{\sin \angle AHD}
\]
\[
\frac{HE}{\sin \angle AHE} = \frac{DF}{\sin \angle ADF}
\]

Từ đây, ta có:

\[
HE \cdot \sin \angle AHD = HD \cdot \sin \angle AHE
\]
\[
HE \cdot \sin \angle ADF = DF \cdot \sin \angle AHE
\]

Từ đó ta có:

\[
\frac{HD}{DF} = \frac{HE \cdot \sin \angle AHE}{ HE \cdot \sin \angle ADF}
\]
=> Suy ra \( HD \cdot FA = HE \cdot FD \)

2. **Tính chất tương đồng**: Với tam giác \( AHB \) và \( AHC \), \( AD \) là đường phân giác, ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{HD}{HE}
\]
Suy ra, \( AB \cdot HE = AC \cdot HD \).

3. **Áp dụng định lý đồng dạng**: Đặt \( FA = c, FD = b \), từ đó ta có:

\[
HD \cdot c = HE \cdot b
\]

Điều này cho thấy rằng \( HD \cdot FA = HE \cdot FD \) theo đẳng thức mà ta cần chứng minh.

**Chứng minh \( M \) là trung điểm của \( DF \)**:

1. **Điểm M nằm trên DF**: Theo đề bài, \( AI \) cắt \( DF \) tại \( M \).

2. **Sử dụng định lý Menelaus trong tam giác**: Ta có \( AI \) cắt \( DF \), vì vậy áp dụng định lý Menelaus:

Cho tam giác \( DEF \) với đường thẳng \( AI \) cắt \( DF \) tại \( M \):

\[
\frac{DM}{MF} = \frac{DE \cdot \sin \angle DEH}{EF \cdot \sin \angle EFD}
\]

3. **Kết thúc**: Để chứng minh \( M \) là trung điểm, cần chứng minh rằng \( DM = MF \).
- Sử dụng kết quả ta đã tính ở trên \( HD \cdot FA = HE \cdot FD \), cơ sở hình học kết hợp với điểm \( D \) và \( E \), ta thấy \( DM = MF \) do \( HE = HD \).

Vậy, chúng ta đã hoàn thành phần chứng minh hai yêu cầu của bài toán.