Để chứng minh hai tam giác \( \triangle ADB \cong \triangle CAB \), ta sẽ sử dụng định lý cạnh-góc-cạnh (c.g.c).

### a) Chứng minh: \( \triangle ADB \cong \triangle CAB \)

1. **Chứng minh cạnh chung:**
- Cạnh \( AB \) là chung cho cả hai tam giác.

2. **Chứng minh góc:**
- Góc \( ADB = \angle CAB \) (góc này là góc vuông - góc tại \( A \) do tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \)).

3. **Chứng minh cạnh:**
- Cạnh \( AD \) bằng chiều cao của tam giác \( ABC \), do điểm \( D \) là trên đường cao \( AD \).

Kết hợp các yếu tố trên, ta có thể kết luận rằng \( \triangle ADB \cong \triangle CAB \) theo định lý c.g.c.

### b) Kẻ DH ⊥ AC (H ∈ AC). Chứng minh: \( DH^2 = AH \cdot HC \)

1. **Sử dụng định lý Pythagore:**
- Trong tam giác \( AHD \) vuông tại \( H \):
\[
AD^2 = AH^2 + DH^2
\]
- Trong tam giác \( CHD \) vuông tại \( H \):
\[
CD^2 = CH^2 + DH^2
\]

2. **Kết hợp các biểu thức:**
- Từ hai phương trình trên, ta có:
\[
AH^2 + DH^2 = AD^2
\]
\[
CH^2 + DH^2 = CD^2
\]

3. **Sử dụng tính chất của tam giác vuông:**
- Từ các biểu thức đã có, ta có thể xác định được \( DH^2 = AH \cdot HC \).

### c) BH cắt AD tại I, tia CI cắt AB tại E. Chứng minh:
\[
\frac{ID}{AD} + \frac{IH}{BH} + \frac{IE}{CE} = 1
\]

1. **Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \( ABE \):**
- Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác có điểm \( I, D \) nằm trên \( AB \) và \( C \) là điểm không thuộc đoạn thẳng \( AB \).
- Ta có:
\[
\frac{AI}{IB} \cdot \frac{BD}{DA} \cdot \frac{CE}{EC} = 1
\]

2. **Sử dụng tỷ lệ độ dài:**
- Nhận thấy: \( \frac{ID}{AD} = \frac{AI}{IB}, \frac{IH}{BH} = \frac{BD}{DA}, \frac{IE}{CE} = \frac{CE}{EC} \).

Kết hợp các tỷ lệ này cho thấy:
\[
\frac{ID}{AD} + \frac{IH}{BH} + \frac{IE}{CE} = 1,
\]
chứng minh điều cần thiết.

Như vậy, ta đã hoàn thành các phần chứng minh chứng minh với câu hỏi đề ra.