Câu 17.1.1:

a) Chứng minh △AIB∼△ACK:

• ∠BAI=∠CAK (góc chung)
• ∠ABI=∠ACK=90∘ ⟹△AIB∼△ACK (g.g) ⟹ACAI​=AKAB​⟹AI⋅AK=AB⋅AC

b) Chứng minh △APB:

• ∠APB=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB)

Câu 17.1.2:

a) Chứng minh năm điểm A,E,H,F,N cùng nằm trên một đường tròn đường kính AH:

• ∠AEH=90∘ (BE là đường cao) ⟹E thuộc đường tròn đường kính AH.
• ∠AFH=90∘ (CF là đường cao) ⟹F thuộc đường tròn đường kính AH.
• I là trung điểm AH, N là trung điểm BH. Trong △ABH, IN là đường trung bình ⟹IN∥AB và IN=21​AB.
• Gọi O là trung điểm AH. OA=OE=OH=OF=OI=2AH​. Vậy A,E,H,F,I cùng thuộc đường tròn tâm O đường kính AH.
• Xét △BHE vuông tại E, N là trung điểm BH⟹NE=NH=NB=2BH​. Vậy N thuộc đường tròn đường kính BH.
• Ta có ∠ANH=90∘ (vì BE⊥AC). Vậy N thuộc đường tròn đường kính AH.
• Vậy A,E,H,F,N cùng nằm trên đường tròn đường kính AH.

b) Chứng minh NE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH:

• Gọi O là trung điểm AH. Ta có OE=ON=2AH​.
• Xét △ONE, OE=ON⟹△ONE cân tại O.
• Ta có ∠NEH=90∘−∠BHE=90∘−∠BAH.
• ∠OEN=∠ONE.
• ∠OEA=∠OAE (vì OA=OE).
• ∠NEA=∠OEA−∠OEN=∠OAE−∠ONE.
• Ta có ∠ONA=∠ONH+∠HNA.
• Chứng minh được ∠ONE+∠BAE=90∘.
• Suy ra ∠ONE+∠OAE=90∘.
• ∠OEN+∠OAE=90∘.
• ∠NEA+∠OEN+∠OAE=∠OAE−∠ONE+∠OEN+∠OAE=2∠OAE+(∠OEN−∠ONE).
• Do ∠OEN=∠ONE, nên ∠NEA+∠OEN+∠OAE=2∠OAE.
• Ta có ∠OEH=∠OHE.
• ∠NEH=90∘−∠BHE=90∘−(90∘−∠BAH)=∠BAH=∠OAE.
• Xét △OEN và △OAE: OE=OA, ON=OE, EN chung.
• Ta có ∠ONE=∠OEN.
• ∠ONH=∠OBH.
• ∠EAH+∠EBH=90∘.
• ∠NEO+∠OEA=∠NEA.
• ∠OEN=∠ONE.
• ∠OEA=∠OAE.
• ∠NEA=∠OAE−∠ONE.
• Ta có ∠NEH=∠NAH (cùng chắn cung NH).
• ∠NAH=90∘−∠ANH.
• ∠ONH=∠OBH.
• ∠EHN=∠EBN.
• ∠OEN=∠ONH+∠NHE=∠OBH+∠NBE.
• ∠OAE=∠OAB.
• Để chứng minh NE là tiếp tuyến, cần chứng minh NE⊥OE.
• ∠NEO+∠OEA=90∘.
• ∠ONE+∠OAE=90∘.
• Mà ∠ONE=∠OEN, suy ra ∠OEN+∠OAE=90∘.

Câu 2:

2.1. Hình nón có đường sinh l=13 cm, diện tích xung quanh Sxq​=πrl=65π cm$^2$. a) Chiều cao hình nón: 65π=πr⋅13⟹r=5 cm. Chiều cao h=l2−r2​=132−52​=169−25​=144​=12 cm.

b) Diện tích toàn phần và thể tích hình nón: Stp​=Sxq​+Sđaˊy​=65π+πr2=65π+π⋅52=65π+25π=90π≈90⋅3.14=282.6 cm$^2$. V=31​πr2h=31​π⋅52⋅12=31​π⋅25⋅12=100π≈100⋅3.14=314 cm$^3$.

2.2. Hộp đựng chè hình trụ có đường kính đáy d=8 cm ⟹r=4 cm, chiều cao h=12 cm. Diện tích xung quanh hộp: Sxq​=2πrh=2⋅3.14⋅4⋅12=301.44 cm$^2$. Diện tích hai đáy: 2⋅Sđaˊy​=2⋅πr2=2⋅3.14⋅42=2⋅3.14⋅16=100.48 cm$^2$. Diện tích giấy carton cần dùng (chưa tính mép): Stp​=Sxq​+2⋅Sđaˊy​=301.44+100.48=401.92 cm$^2$. Diện tích giấy carton hao hụt 5%: 401.92⋅5%=20.096 cm$^2$. Tổng diện tích giấy carton cần dùng: 401.92+20.096=422.016≈422.02 cm$^2$.

2.3. Cốc nước hình trụ cao H=15 cm, bán kính đáy R=3 cm, mực nước ban đầu h0​=10 cm. Thể tích nước ban đầu: Vnước​=πR2h0​=π⋅32⋅10=90π cm$^3$. Thả 5 viên bi hình cầu bán kính r=1 cm. Thể tích mỗi viên bi: Vbi​=34​πr3=34​π⋅13=34​π cm$^3$. Tổng thể tích 5 viên bi: 5⋅Vbi​=5⋅34​π=320​π cm$^3$. Tổng thể tích nước và bi: Vtổng​=Vnước​+5⋅Vbi​=90π+320​π=3270π+20π​=3290​π cm$^3$. Chiều cao mực nước sau khi thả bi (h): πR2h=Vtổng​ π⋅32⋅h=3290​π 9πh=3290​π h=3⋅9290​=27290​≈10.74 cm. Khoảng cách từ miệng cốc đến mực nước: 15−10.74=4.26 cm.