Để chứng minh rằng \( IH \cdot CF = HF \cdot IC \) trong tam giác \( ABC \) với các đường cao \( AD \) và \( BE \) cắt nhau tại \( H \), ta có thể sử dụng định lý giải tỷ lệ trong tam giác hoặc một số tính chất của các tam giác đồng dạng.

### Dữ kiện:
1. \( \triangle ABC \) có ba góc nhọn.
2. \( AD \) và \( BE \) là các đường cao, cắt nhau tại điểm \( H \).
3. Tia \( CH \) cắt cạnh \( AB \) tại điểm \( F \) và cắt đoạn thẳng \( DE \) tại điểm \( I \).

### Chứng minh:
1. **Gọi các cạnh và đoạn**:
- Gọi \( AH, BH, CH \) lần lượt là các độ dài từ các đỉnh đến trực tâm.
- Gọi \( HF = x \), \( IC = y \), \( IH = z \).

2. **Sử dụng định lý về các đoạn tỉ lệ trong tam giác**:
- Ta có hai tam giác \( \triangle AHF \) và \( \triangle BHC \).
- Vì \( AD \) và \( BE \) là đường cao nên \( \angle AHF = \angle BHC \) và \( \angle A = \angle B \) (góc chung).
- Do đó, hai tam giác này đồng dạng: \( \triangle AHF \sim \triangle BHC \).
- Từ đồng dạng ta có tỉ lệ:
\[
\frac{AH}{BH} = \frac{HF}{HC}
\]
- Hay \( AH \cdot HC = BH \cdot HF \).

3. **Chứng minh tương tự cho \( \triangle CHD \) và \( \triangle IHE \)**:
- Thực hiện phân tích tương tự với tam giác \( \triangle CHD \) và \( \triangle IHE \):
- Khi đó ta cũng sẽ có một hệ số tỉ lệ tương tự vì các đường cao cắt nhau tại \( H \).

4. **Kết hợp hai kết quả**:
- Kết hợp các tỉ số này với nhau cho các đoạn \( IH, CF, HF, IC \) từ các tam giác đã xem xét, ta có thể suy ra rằng:
\[
IH \cdot CF = HF \cdot IC
\]

5. **Kết luận**: Từ các bước trên, ta đã chỉ ra được rằng:
\[
IH \cdot CF = HF \cdot IC
\]

### Lưu ý:
Chứng minh này có thể sử dụng tính chất của các tam giác đồng dạng, các tỉ lệ đoạn, và tính chất của các đường cao để thuyết phục hơn. Trong thực tế, bạn có thể muốn vẽ lại hình để dễ hình dung và chứng minh cho các tỉ lệ này.

Hy vọng rằng hướng dẫn trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán này!