Để chứng minh rằng

\[
\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots + \frac{1}{2025^2} < 1,
\]

ta có thể sử dụng một số bất đẳng thức để giúp ước lượng tổng này.

**Bước 1:** Ta dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\[
\left(\sum_{n=2}^{2025} \frac{1}{n^2}\right) \sum_{n=2}^{2025} 1 \geq \left( \sum_{n=2}^{2025} \frac{1}{n} \right)^2.
\]

Trong đó, số lượng các số hạng từ 2 đến 2025 là \(2025 - 2 + 1 = 2024\). Do đó,

\[
\left(\sum_{n=2}^{2025} 1\right) = 2024.
\]

**Bước 2:** Dùng ước lượng cho tổng \(\sum_{n=2}^{2025} \frac{1}{n^2}\).

Ta biết rằng tổng này có thể được ước lượng bằng cách so sánh với một tích phân:

\[
\sum_{n=2}^{2025} \frac{1}{n^2} < \int_{1}^{2025} \frac{1}{x^2} \, dx.
\]

**Tính tích phân:**

\[
\int_{1}^{2025} \frac{1}{x^2} \, dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{2025} = -\frac{1}{2025} + 1 = 1 - \frac{1}{2025} = \frac{2024}{2025}.
\]

Vì vậy,

\[
\sum_{n=2}^{2025} \frac{1}{n^2} < \frac{2024}{2025}.
\]

**Bước 3:** Rút gọn phân tử của tổng.

Bây giờ ta có:

\[
\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots + \frac{1}{2025^2} < \frac{2024}{2025}.
\]

**Bước 4:** Chứng minh rằng \(\frac{2024}{2025} < 1\).

Rõ ràng, vì \(2024 < 2025\) nên ta có:

\[
\frac{2024}{2025} < 1.
\]

**Kết luận:**

Cuối cùng, từ những yếu tố trên, ta có:
\[
\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots + \frac{1}{2025^2} < 1,
\]
vậy nên ta đã chứng minh thành công.