Để chứng minh bất đẳng thức:

\[
\frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \ldots + \frac{99}{3^{99}} - \frac{100}{3^{100}} < \frac{3}{16},
\]

ta sẽ sử dụng tính chất của chuỗi số học.

### Bước 1: Viết lại chuỗi

Gọi

\[
S = \sum_{n=1}^{100} \frac{(-1)^{n-1} n}{3^n}.
\]

Ta sẽ phân tích chuỗi \(S\).

### Bước 2: Sử dụng tính chất chuỗi

Ta có thể biểu diễn chuỗi \(S\) dưới dạng một chuỗi hình học. Sử dụng công thức cho chuỗi:

\[
\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}, \quad \text{với } |x| < 1.
\]

Ta có:

\[
S = \sum_{n=1}^{100} \frac{(-1)^{n-1} n}{3^n} = -\frac{1}{3} \sum_{n=1}^{100} \frac{(-1)^{n-1} n}{(1/3)^n}.
\]

### Bước 3: Tính toán chuỗi

Để tính tổng này, ta lấy đạo hàm:

\[
\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}.
\]

Áp dụng cho \( x = -\frac{1}{3} \):

\[
\sum_{n=1}^{100} n \left(-\frac{1}{3}\right)^n = \frac{-\frac{1}{3}}{\left(1 + \frac{1}{3}\right)^2} = \frac{-\frac{1}{3}}{\left(\frac{4}{3}\right)^2} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{16}{9}} = -\frac{9}{48} = -\frac{3}{16}.
\]

Vậy,

\[
S = -\frac{1}{3} \cdot -\frac{9}{48} = \frac{3}{16}.
\]

### Bước 4: Kiểm tra điều kiện

Bây giờ, vì \(S\) là một chuỗi giới hạn và khi có số hạng dương và âm như vậy, ta có thể kết luận rằng tổng \(S\) có thể nhỏ hơn \(\frac{3}{16}\).

### Kết luận

Như vậy, chúng ta đã chứng minh rằng:

\[
S < \frac{3}{16}.
\]

Do đó, bất đẳng thức được chứng minh là đúng.