Để giải phương trình, chúng ta sẽ bắt đầu từ phương trình đầu tiên:

\[
\frac{11}{44} + 2 \cdot (3x - \frac{2}{3}) = 1
\]

Trước hết, đơn giản hóa \(\frac{11}{44}\):

\[
\frac{11}{44} = \frac{1}{4}
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
\frac{1}{4} + 2(3x - \frac{2}{3}) = 1
\]

Tiếp theo, tính \(2(3x - \frac{2}{3})\):

\[
2(3x) - 2 \cdot \frac{2}{3} = 6x - \frac{4}{3}
\]

Vậy phương trình giờ đây là:

\[
\frac{1}{4} + 6x - \frac{4}{3} = 1
\]

Để giải hệ số \( \frac{1}{4} - \frac{4}{3} \), trước hết chúng ta cần có cùng mẫu số. Mẫu số chung của 4 và 3 là 12.

Chuyển đổi các phân số:

\[
\frac{1}{4} = \frac{3}{12}, \quad \frac{4}{3} = \frac{16}{12}
\]

Vậy:

\[
\frac{1}{4} - \frac{4}{3} = \frac{3}{12} - \frac{16}{12} = \frac{3 - 16}{12} = \frac{-13}{12}
\]

Sau đó, thay vào phương trình:

\[
\frac{-13}{12} + 6x = 1
\]

Chuyển đổi sẽ là:

\[
6x = 1 + \frac{13}{12}
\]

Được rồi, chuyển 1 thành \(\frac{12}{12}\):

\[
6x = \frac{12}{12} + \frac{13}{12} = \frac{25}{12}
\]

Vậy:

\[
x = \frac{25}{12} \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{72}
\]

---

Bây giờ chuyển sang phương trình thứ hai:

\[
(\frac{1}{2} + 2x)(2x - 3) = 0
\]

Tìm các nghiệm, có hai trường hợp:

1. \( \frac{1}{2} + 2x = 0 \)
2. \( 2x - 3 = 0 \)

**Trường hợp 1:**

\[
\frac{1}{2} + 2x = 0 \implies 2x = -\frac{1}{2} \implies x = -\frac{1}{4}
\]

**Trường hợp 2:**

\[
2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}
\]

---

Tóm lại, các nghiệm của hai phương trình là:

1. Từ phương trình đầu tiên: \( x = \frac{25}{72} \)
2. Từ phương trình thứ hai: \( x = -\frac{1}{4} \) và \( x = \frac{3}{2} \)