Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện theo từng bước như sau:

**a)** Để tính độ dài đoạn thẳng AN, trước tiên ta đặt điểm O là gốc tọa độ (0 cm). Điểm A nằm trên tia OM với OA = 7 cm, nên tọa độ của A là 7 cm. Điểm N nằm trên tia đối của tia OM (tương đương với tia ON) và cách O một khoảng bằng 3 cm, nên tọa độ của N là -3 cm.

Độ dài đoạn thẳng AN được tính bằng công thức:
\[ AN = |A - N| = |7 - (-3)| = |7 + 3| = 10 \text{ cm} \]
Vậy độ dài đoạn thẳng AN là 10 cm.

---

**b)** Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AN. Để tính độ dài các đoạn thẳng AK và OK, trước tiên ta cần tọa độ của điểm K.

Tọa độ của điểm K được tính như sau:
\[
K = \frac{A + N}{2} = \frac{7 + (-3)}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm}
\]

Bây giờ ta tính độ dài đoạn AK và OK:
- Độ dài đoạn thẳng AK:
\[ AK = |A - K| = |7 - 2| = 5 \text{ cm} \]

- Độ dài đoạn thẳng OK:
\[ OK = |K - O| = |2 - 0| = 2 \text{ cm} \]

Vậy độ dài đoạn thẳng AK là 5 cm và độ dài đoạn thẳng OK là 2 cm.

---

**c)** Để xác định điểm K thuộc tia nào, chúng ta biết rằng:
- Tia OA kéo dài từ O đến A, nghĩa là từ 0 đến 7 cm.
- Tia ON kéo dài từ O đến N, nghĩa là từ 0 đến -3 cm (đi theo hướng trái dấu).

Vì K có tọa độ là 2 cm nằm giữa O (0 cm) và A (7 cm), nên K thuộc tia OA.

Tóm lại:
- a) AN = 10 cm
- b) AK = 5 cm, OK = 2 cm
- c) Điểm K thuộc tia OA.