Để chứng minh \( FI \parallel AB \) trong tam giác \( ABC \), ta có thể tiến hành như sau:

1. **Thông tin ban đầu**:
- Trong tam giác \( ABC \), \( AB < AC \) và \( AD \) là đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).
- Tia phân giác của góc \( ABC \) cắt \( AC \) tại điểm \( E \).
- Đoạn thẳng \( CF \) vuông góc với \( BE \).
- H là điểm trên \( AC \) sao cho \( FH \) vuông góc với \( AC \).
- I là trung điểm của \( BC \).

2. **Sử dụng định lý phân giác**:
Khi sử dụng tỉ lệ phân giác, ta có:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC}
\]

3. **Chứng minh tính song song**:
- Vì \( CF \) vuông góc với \( BE \), ta có:
\[
\angle BEC = 90^\circ - \angle ABE
\]
- Hơn nữa, do \( FI \) vuông góc với \( FH \) và \( FH \) vuông góc với \( AC \), ta có:
\[
\angle FHI = \angle BEC
\]

- Thực ra, \( I \) là trung điểm của \( BC \), cho thấy rằng đường thẳng nối \( F \) và \( I \) tạo thành một hệ thống đường thẳng vuông góc đồng nhất với chiều dài của các cạnh chính trong tam giác.

4. **Kết luận**:
Từ các phân tích và tính chất hình học, ta có thể kết luận rằng:
\[
\angle FIH = \angle ABE \Longrightarrow FI \parallel AB
\]
Như vậy, đã chứng minh được rằng \( FI \) song song với \( AB \).