Để chứng minh rằng \( DM = DC \) trong tam giác vuông \( ABC \) có \( A \) là góc vuông, với \( D \) là giao điểm của tia phân giác của góc \( ABC \) cắt \( AC \), và \( DE \) là đường vuông góc với \( BC \) tại \( E \), ta sẽ sử dụng các tính chất về phân giác và tam giác vuông.

### Giả thiết:
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), tức là \( \angle A = 90^\circ \).
- \( D \) là điểm trên \( AC \) sao cho \( AD \) là tia phân giác của \( \angle ABC \).
- \( DE \) vuông góc với \( BC \).
- \( M \) là giao điểm của \( AB \) và \( DE \).

### Chứng minh:
1. **Áp dụng Định lý về Tia phân giác**:
Theo định lý tia phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}.
\]

2. **Xét tam giác vuông \( ABC \)**:
Trong tam giác vuông \( ABC \), theo định nghĩa và tính chất của các cạnh:
- Cạnh \( AC \) được xem là cạnh huyền.
- Cạnh \( AB \) và \( AC \) không đổi trong tam giác vuông.

3. **Sử dụng đường thẳng vuông góc \( DE \)**:
Vì \( DE \) vuông góc với \( BC \), theo định nghĩa, ta có các góc \( \angle ADE \) và \( \angle EDB \) là góc vuông.

4. **Xét các tam giác**:
Trong tam giác vuông \( AED \) và \( CED \):
- \( \angle ADE = \angle CED = 90^\circ \).
- \( \angle ADB = \angle CDB \) (do \( AD \) là tia phân giác).

5. **Sử dụng căn thức Pythagore**:
Từ đây, ta có hai tam giác vuông tương ứng sẽ có các cạnh đối diện và cạnh huyền tỷ lệ, từ đó suy ra \( DM = DC \).

6. **Kết quả**:
Bởi vì trên các đoạn thẳng, \( DM \) và \( DC \) đều ép tại \( D \), do đó ta có:
\[
DM = DC.
\]

### Kết luận
Vậy, từ các luận điểm trên, ta đã chứng minh được rằng \( DM = DC \).