a) Để chứng minh rằng ΔABD = ΔAMD, chúng ta xem xét các yếu tố của tam giác:

1. **Thay thế các cạnh và góc**:
- Ta có AB = AM theo giả thiết.
- Gọi góc BAD = α và góc MAD = α (do AD là tia phân giác của góc BAC).

2. **Sử dụng tiêu chuẩn chứng minh hai tam giác bằng nhau**:
- Trong ΔABD và ΔAMD, chúng ta có:
- AB = AM
- Gióc ABD = Gióc AMD (Cùng bằng α)
- AD là cạnh chung của cả hai tam giác ΔABD và ΔAMD.

Theo tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh (c.g.c), ta có:

ΔABD ≅ ΔAMD.

Vì hai tam giác bằng nhau, ta có:

ΔABD = ΔAMD.

b) Tiếp theo, chúng ta chứng minh BI = KM.

1. **Dựng các đường vuông góc**:
- Dựng DI vuông góc với AB tại điểm I và DK vuông góc với AC tại điểm K.

2. **Chứng minh BI = KM**:
- Xét các tam giác vuông ΔADI và ΔAMK:
- Ta đã có AD là cạnh chung.
- Xét hai góc:
- Góc AID = góc AMK (góc này đều là góc vuông).
- Do đó, góc AID = góc AMK = 90°.

3. **Áp dụng định lý Pitago** trong tam giác vuông:
- Ta có:
\[ BI = AD \cdot \sin(α) \quad (\text{vì} BI = AD \cdot \sin(góc AID)) \]
\[ KM = AD \cdot \sin(α) \quad (\text{vì} KM = AD \cdot \sin(góc AMK)) \]

Vậy ta có:

\[ BI = KM. \]

Như vậy, ta đã chứng minh xong yêu cầu.