Để chứng minh rằng tổng \( S = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{100^2} < 1 \), ta có thể sử dụng bất đẳng thức và phương pháp so sánh.

1. **Xác định các số hạng**:
Ta có tổng của các số hạng từ \( n = 2 \) đến \( n = 100 \):
\[
S = \sum_{n=2}^{100} \frac{1}{n^2}
\]

2. **Sử dụng bất đẳng thức**:
Theo một bất đẳng thức nổi tiếng, tổng này có thể được so sánh với tổng của chuỗi \(\frac{1}{n^2}\) cho \( n \) từ 1 đến vô cực, mà chúng ta biết là hội tụ và có giá trị bằng \(\frac{\pi^2}{6} \approx 1.645\).

3. **Chia tổng thành hai phần**:
Ta có thể tách tổng như sau:
\[
S = \frac{1}{2^2} + \sum_{n=3}^{100} \frac{1}{n^2}
\]
Ta biết rằng \( \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25 \).

4. **Tính tổng cho phần còn lại**:
Tổng \( \sum_{n=3}^{100} \frac{1}{n^2} \) có thể được ước lượng bằng cách tính gần đúng tổng từ 3 đến vô cực cho chuỗi \( \frac{1}{n^2} \):
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} - \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} \right) = \frac{\pi^2}{6} - \left( 1 + \frac{1}{4} \right) = \frac{\pi^2}{6} - \frac{5}{4}
\]
Giá trị \(\frac{\pi^2}{6} \approx 1.645\), do đó:
\[
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n^2} \approx 1.645 - 1.25 \approx 0.395
\]
Số hạng của tổng từ 3 đến 100 sẽ nhỏ hơn tổng này, nhưng ngay cả khi thêm, các số hạng \( \frac{1}{n^2} \) cho lớn hơn n sẽ có giá trị nhỏ.

5. **Kết luận**:
Tổng phần còn lại \( \sum_{n=3}^{100} \frac{1}{n^2} < 0.39 \) nên ta có:
\[
S < \frac{1}{4} + 0.39 = 0.25 + 0.39 = 0.64
\]
Vì vậy, kết luận rằng tổng \( S < 1 \) là đúng.

Do đó, ta đã chỉ ra rằng:
\[
S = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{100^2} < 1
\]
Điều này hoàn thành chứng minh.