Chứng minh AEB = HEB

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, chúng ta sẽ vẽ hình và tiến hành từng bước như sau:

### Hình vẽ:
1. Vẽ tam giác vuông \(ABC\) với \(A\) là đỉnh vuông, \(B\) là điểm trên cạnh \(AC\) và \(C\) là điểm trên cạnh \(AB\).
2. Kẻ đường phân giác \(BE\) của góc \(ABC\) (tại điểm \(E\) trên cạnh \(AC\)).
3. Kẻ đường thẳng \(EH\) vuông góc với \(BC\) và cắt \(BC\) tại điểm \(H\).

### a) Chứng minh \( \angle AEB = \angle HEB \):
- Ta có \(BE\) là đường phân giác của góc \(ABC\), do đó \( \angle ABE = \angle EBC \).
- Từ định nghĩa đường thẳng \(EH\) vuông góc với \(BC\), ta có:
\[
\angle HEB = 90^\circ - \angle EBC
\]
- Bổ sung vào tam giác vuông \(ABE\), ta có:
\[
\angle AEB = 90^\circ - \angle ABE
\]
- Từ hai điểm trên, ta có:
\[
\angle AEB = \angle HEB
\]
- Do đó, ta đã chứng minh được \( \angle AEB = \angle HEB \).

### b) Chứng minh \(BE\) là đường trung trực của \(AH\):
- Xét tam giác vuông \(AHE\) có \(EH \perp BC\) (tại \(H\)).
- Trong tam giác vuông \(AHE\), \(BE\) là phân giác của góc \(ABC\).
- Từ định lý về phân giác, có:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC}
\]
- Mặt khác, do \(EH\) vuông góc với \(BC\) và chia \(AH\) tại \(H\), ta có:
\[
AH = AE + EH.
\]
- Suy ra \(BE\) chia đều \(AH\), tức là:
\[
BE \text{ là đường trung trực của } AH.
\]

### c) Chứng minh \(AE < EC\):
- Từ tính chất của đường phân giác, ta biết rằng đường phân giác chia cạnh đối diện theo tỉ lệ bằng chiều dài của hai cạnh kề. Ứng dụng vào tam giác \(ABC\):
- Ta có:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC}.
\]
- Với tam giác vuông, chiều dài \(AB\) luôn nhỏ hơn chiều dài của \(BC\) (tức là \(AB < AC\)).
- Do đó, \(AE < EC\).

### Kết luận:
Chúng ta đã chứng minh được ba yêu cầu trong bài: \( \angle AEB = \angle HEB \), \(BE\) là đường trung trực của \(AH\), và \(AE < EC\).

Bạn có thể thêm vào hình vẽ tương ứng với từng phần đã trình bày nhé!