Để chứng minh rằng

\[
S = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{100^2} < 1,
\]

ta sẽ sử dụng bất đẳng thức.

Đầu tiên, ta lưu ý rằng:

\[
\frac{1}{n^2} < \frac{1}{(n-1)^2} \quad \text{với} \quad n \geq 3.
\]

Do đó, để dễ dàng tính toán hơn, ta sẽ giới hạn bớt một số hạng:

\[
S = \frac{1}{2^2} + \sum_{n=3}^{100} \frac{1}{n^2}.
\]

Tính riêng hạng đầu tiên:

\[
\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}.
\]

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng:

\[
\sum_{n=3}^{100} \frac{1}{n^2} < 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
\]

Ta có thể ước lượng tổng \(\sum_{n=3}^{100} \frac{1}{n^2}\) bằng cách sử dụng việc tích phân để ước lượng:

\[
\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^2} < \int_1^N \frac{1}{x^2} \, dx + 1,
\]

Với \(N = 100\):

\[
\int_1^{100} \frac{1}{x^2} \, dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^{100} = -\frac{1}{100} + 1 = 0.99.
\]

Do đó:

\[
\sum_{n=1}^{100} \frac{1}{n^2} < 0.99 + 1 = 1.99.
\]

Nhưng chúng ta chỉ cần lượng của các hạng từ 3 đến 100:

\[
\sum_{n=3}^{100} \frac{1}{n^2} = \sum_{n=1}^{100} \frac{1}{n^2} - \left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}\right).
\]

Ta có:

\[
\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} = 1 + \frac{1}{4} = 1.25.
\]

Vậy:

\[
\sum_{n=3}^{100} \frac{1}{n^2} < 1.99 - 1.25 = 0.74.
\]

Thay vào trong \(S\):

\[
S < \frac{1}{4} + 0.74 = 0.74 + 0.25 = 0.99 < 1.
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng:

\[
\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{100^2} < 1.
\]

Vậy chứng minh hoàn tất!