Để chứng minh rằng một đa thức có thể không có nghiệm, ta có thể sử dụng định lý về nghiệm của phương trình bậc hai (Delta) hoặc xét dấu của đa thức trong trường hợp bậc cao hơn.

### a) \( M(x) = x^2 + 6x + 11 \)

Tính delta (Δ):
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8
\]
Vì Δ < 0 nên phương trình \( M(x) = 0 \) không có nghiệm thực.

### b) \( Q(x) = \frac{1}{2} x^4 + 2x^2 + 1 \)

Ta chuyển đổi để dễ dàng hơn:
\[
Q(x) = \frac{1}{2} \left( x^4 + 4x^2 + 2 \right)
\]
Xét đa thức: \( x^4 + 4x^2 + 2 \)

Đặt \( t = x^2 \), thì:
\[
t^2 + 4t + 2
\]
Tính delta:
\[
\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8
\]
Vì Δ > 0 nên \( t^2 + 4t + 2 \) có nghiệm thực, nhưng ta cần kiểm tra xem nghiệm này có cho phép \( t \geq 0 \) không.

Giải nghiệm bằng công thức nghiệm:
\[
t = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2} = -2 \pm \sqrt{2}
\]
Xét \( t = -2 + \sqrt{2} \) (có thể âm), nên không có nghiệm không âm.

Vậy \( Q(x) = 0 \) không có nghiệm thực.

### c) \( N(x) = x^2 + 2x + 2 \)

Tính delta:
\[
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4
\]
Vì Δ < 0 nên \( N(x) = 0 \) không có nghiệm thực.

### d) \( H(x) = -\frac{1999}{2000} x^{1998} - \frac{2021}{2022} x^{2000} - 10 \)

Đầu tiên, ta thấy rằng:
- Hằng số \( -10 \) là âm.
- Tham số bậc cao nhất \( -\frac{2021}{2022} x^{2000} \) là âm.

Ta nhận thấy rằng nếu \( x \) lớn thì \( H(x) \) sẽ âm (do \( x^{2000} \to -\infty \)). Tương tự, khi \( x \) nhỏ, \( H(x) \) cũng không vượt khỏi -10.

Xét \( H(x) \) có giá trị âm cho mọi \( x \), do đó \( H(x) = 0 \) không có nghiệm thực.

### Kết luận
Các đa thức \( M(x) \), \( Q(x) \), \( N(x) \) và \( H(x) \) đều không có nghiệm thực.