Để chứng minh bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh rằng hai số chẵn kém nhau 4 đơn vị thì hiệu các bình phương của chúng chia hết cho 16.

Gọi hai số chẵn là \( a \) và \( b \) với \( a = b + 4 \) (vì \( a \) lớn hơn \( b \) 4 đơn vị).

Hiệu của các bình phương là:

\[
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
\]

Ở đây, \( a - b = 4 \) và \( a + b = (b + 4) + b = 2b + 4 \).

Do đó, ta có:

\[
a^2 - b^2 = 4(2b + 4) = 8b + 16
\]

Ta cần chứng minh \( 8b + 16 \) chia hết cho 16. Ta thấy:

\[
8b + 16 = 8(b + 2)
\]

Rõ ràng, \( 8(b + 2) \) chia hết cho 16, vì \( b + 2 \) là một số nguyên.

Vậy, hiệu các bình phương của \( a \) và \( b \) chia hết cho 16.

### b) Chứng minh rằng hai số lẻ kém nhau 6 đơn vị thì hiệu các bình phương của chúng chia hết cho 24.

Gọi hai số lẻ là \( m \) và \( n \) với \( m = n + 6 \).

Hiệu của các bình phương là:

\[
m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)
\]

Ở đây, \( m - n = 6 \) và \( m + n = (n + 6) + n = 2n + 6 \).

Do đó, ta có:

\[
m^2 - n^2 = 6(2n + 6) = 12n + 36
\]

Ta cần chứng minh \( 12n + 36 \) chia hết cho 24. Ta thấy:

\[
12n + 36 = 12(n + 3)
\]

\( n + 3 \) là một số nguyên, nhưng để \( 12(n + 3) \) chia hết cho 24, \( n + 3 \) phải là số chẵn.

Vì \( n \) là số lẻ, \( n + 3 \) là số chẵn. Do đó, \( 12(n + 3) \) chia hết cho 24.

Vậy, hiệu các bình phương của \( m \) và \( n \) chia hết cho 24.

### Kết luận
Cả hai phần đã được chứng minh.