Để tính giá trị của biểu thức \( P = \frac{1}{a^2 + b^2 + c^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + c^2 + 1} + \frac{1}{c^2 + a^2 + 1} \), với các điều kiện đã cho là \( abc \neq 0 \), \( (a+b)(b+c)(c+a) \neq 0 \) và \( a + b + c = \frac{1}{abc} \), chúng ta sẽ phân tích và tính toán từng phần của biểu thức.

Trước hết, từ điều kiện \( a + b + c = \frac{1}{abc} \), chúng ta có thể chuyển đổi thành các dạng khác nhau để tìm ra mối liên hệ với các biến \( a, b, c \).

Bây giờ, ta sẽ đưa ra các tính toán cụ thể cho từng phần trong biểu thức \( P \):

1. **Tính phần \( a^2 + b^2 + c^2 + 1 \):**

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3} = \frac{1^2}{3} = \frac{1}{3}
\]
Do đó, \( a^2 + b^2 + c^2 + 1 \geq \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \).

2. **Tính \( b^2 + c^2 + 1 \) và \( c^2 + a^2 + 1 \):**

Tương tự, ta cũng có:
\[
b^2 + c^2 \geq \frac{(b+c)^2}{2} \geq \frac{(1-a)^2}{2}
\]
và
\[
c^2 + a^2 + 1 \geq \frac{(c+a)}^2 + 1.
\]

3. **Tính toán \( P \):**

Sau khi thay thế vào biến số và bằng cách tìm các biểu thức trên, ta có thể đồng thời tìm tổng hợp các giá trị.

Do đó, với các yếu tố mà ta đã lập luận, chúng ta có thể nói rằng:

\[
\begin{aligned}
P & \leq \sum \frac{1}{\frac{4}{3}} = 3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4} = 2.25.
\end{aligned}
\]

Cuối cùng, để cho P có thể đạt giá trị cụ thể, ta nên sử dụng những giá trị thực tế của \( a, b, c\) để thử nghiệm. Trong trường hợp không nên tìm được giá trị cụ thể cho P, ta nên sử dụng lý thuyết tối ưu chi phí và giá trị trung bình để gần đúng cho nó.

Tuy nhiên, việc tính toán gần đúng dựa trên tính chất bậc 1 và tổng tích, tổng hợp lại, mang lại rằng giá trị của \( P \) có thể đạt giá trị tối đa là \( 1 \).

Tóm lại, kết quả cuối cùng có vẻ như đơn giản hơn cho \( P = 1 \) trong trường hợp các giá trị của \( a, b, c \) thích hợp với điều kiện đã cho.