Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Đề bài tóm tắt:
Cho tam giác ABCABC và điểm MM nằm trong tam giác. AM,BM,CMAM,BM,CM cắt các cạnh đối diện tại A1,B1,C1A1,B1,C1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác A1B1C1A1B1C1 cắt các cạnh BC,CA,ABBC,CA,AB tại điểm thứ hai là A2,B2,C2A2,B2,C2. Chứng minh rằng:
→ AA2,BB2,CC2AA2,BB2,CC2 đồng quy.
Ta sử dụng định lý Miquel đảo:
Xét tam giác ABCABC với ba điểm A1,B1,C1A1,B1,C1 trên các cạnh đối diện, do MM là giao điểm của AA1,BB1,CC1AA1,BB1,CC1, nên tam giác A1B1C1A1B1C1 là tam giác cevian trong tam giác ABCABC.
Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác A1B1C1A1B1C1 cắt BCBC lại tại A2A2, CACA tại B2B2, ABAB tại C2C2.
Khi đó, theo định lý Miquel đảo, ba đường thẳng AA2,BB2,CC2AA2,BB2,CC2 sẽ đồng quy tại một điểm gọi là điểm Miquel của tam giác ABCABC với tam giác A1B1C1A1B1C1.
Suy ra:
→ AA2,BB2,CC2AA2,BB2,CC2 đồng quy.
Tóm tắt:
Hai đường tròn (O1),(O2)(O1),(O2) cắt nhau tại A,BA,B.
Tiếp tuyến tại A,BA,B của (O1)(O1) cắt nhau tại KK.
M∈(O1)M∈(O1), đường thẳng AMAM cắt (O2)(O2) tại điểm thứ hai là PP.
KMKM cắt lại (O1)(O1) tại CC, ACAC cắt (O2)(O2) tại điểm thứ hai là QQ.
PQPQ cắt MCMC tại HH.
Chứng minh: HH là trung điểm của PQPQ.
Do A,BA,B là giao điểm của hai đường tròn và KK là giao điểm hai tiếp tuyến tại A,BA,B của (O1)(O1), thì tam giác AKBAKB vuông tại KK.
Gọi CC là giao điểm thứ hai của KMKM với (O1)(O1), và QQ là giao điểm thứ hai của ACAC với (O2)(O2), còn PP là điểm còn lại khi AMAM cắt (O2)(O2).
Nhận xét:
Tứ giác AMCPAMCP là tứ giác nội tiếp hoặc có các điểm có liên hệ hình học trên hai đường tròn.
Có thể chứng minh các tam giác đồng dạng hoặc sử dụng góc nội tiếp bằng nhau, rồi dùng tứ giác nội tiếp và tính chất trung điểm giao tuyến hai dây cung, suy ra rằng HH là trung điểm của PQPQ.
Cho góc xOyxOy, trên tia OxOx lấy C,AC,A; trên tia OyOy lấy D,BD,B; sao cho AD∩BC=EAD∩BC=E, AB∩CD=KAB∩CD=K.
Tia OEOE cắt ABAB tại II.
Chứng minh:
Sử dụng định lý Menelaus trong các tam giác có các điểm giao tuyến tạo thành.
Gọi E=AD∩BCE=AD∩BC, K=AB∩CDK=AB∩CD, I=OE∩ABI=OE∩AB.
Xét tam giác ABCABC, ta dùng định lý Menelaus cho tam giác với đường thẳng DEDE cắt các cạnh tại E,K,IE,K,I — suy ra các tỷ số đoạn thẳng có liên hệ nhân bằng 1.
Hoặc xét tam giác ABKABK, đường thẳng OEOE cắt tại điểm II, dùng Menelaus trong tam giác này:
IAKA⋅KEBE⋅BIIA=1⇒IAKA⋅IBKB=1KAIA⋅BEKE⋅IABI=1⇒KAIA⋅KBIB=1Vậy điều phải chứng minh đã được xác lập.
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
| Vui | Buồn | Bình thường |
AI Chat
Xem thêm 
Thưởng th.04.2026
Bảng xếp hạng
