Dưới đây là lời giải chi tiết cho Câu 4 và Câu 5:

Câu 4: Biết hàm số y=8+2x−x2​ đồng biến trên khoảng (m;n) với m−n lớn nhất. Tính m+n.

Đầu tiên, ta tìm tập xác định của hàm số. Biểu thức dưới căn phải không âm: 8+2x−x2≥0 −x2+2x+8≥0 Nhân cả hai vế với -1 và đổi chiều bất đẳng thức: x2−2x−8≤0 Tìm nghiệm của phương trình x2−2x−8=0: Δ′=(−1)2−1⋅(−8)=1+8=9 x1​=11−9​​=1−3=−2 x2​=11+9​​=1+3=4 Vì parabol x2−2x−8 có hệ số a=1>0, nó có bề lõm hướng lên. Do đó, x2−2x−8≤0 khi −2≤x≤4. Vậy, tập xác định của hàm số là D=[−2;4].

Tiếp theo, ta tìm đạo hàm của hàm số để xét tính đồng biến, nghịch biến. y=8+2x−x2​ y′=28+2x−x2​(8+2x−x2)′​ y′=28+2x−x2​2−2x​ y′=8+2x−x2​1−x​

Để hàm số đồng biến, ta cần y′>0: 8+2x−x2​1−x​>0 Vì 8+2x−x2​>0 trên khoảng (−2;4), nên ta chỉ cần xét tử số: 1−x>0 x<1

Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng (−2;1). (Lưu ý: tại x=±2 và x=4, đạo hàm không xác định; tại x=1, đạo hàm bằng 0. Khi xét tính đồng biến, nghịch biến, ta xét trên các khoảng mở.)

Hàm số đồng biến trên khoảng (m;n). Ta tìm khoảng đồng biến lớn nhất. Dựa vào tập xác định [−2;4] và điều kiện đồng biến x<1, hàm số đồng biến trên khoảng (−2;1). Do đó, khoảng (m;n) mà hàm số đồng biến là (−2;1). Suy ra m=−2 và n=1.

Giá trị m−n lớn nhất. Điều này có thể gây nhầm lẫn. Thông thường, một hàm số sẽ đồng biến trên một khoảng duy nhất hoặc hợp của các khoảng rời rạc. "Khoảng (m;n) với m−n lớn nhất" có thể ám chỉ rằng ta tìm khoảng đồng biến có độ dài lớn nhất, tức là n−m lớn nhất. Tuy nhiên, ở đây lại là m−n. Nếu m−n lớn nhất, điều đó có nghĩa là m lớn nhất và n nhỏ nhất. Nhưng khoảng đồng biến là (m;n) thì m<n. Vậy m−n sẽ âm. Yêu cầu này có thể hiểu là tìm khoảng (m;n) sao cho m đạt giá trị nhỏ nhất và n đạt giá trị lớn nhất trong các khoảng đồng biến.

Nếu ta hiểu "khoảng (m;n)" là khoảng con lớn nhất mà hàm số đồng biến, thì đó là (−2;1). Khi đó m=−2 và n=1. Giá trị cần tính là m+n=−2+1=−1.

Nếu đề bài muốn nói đến độ dài của khoảng đồng biến, tức là n−m lớn nhất, thì khoảng đồng biến lớn nhất là (−2;1), khi đó n−m=1−(−2)=3.

Tuy nhiên, với cách diễn đạt "khoảng (m;n) với m−n lớn nhất", và hàm số đồng biến trên (−2;1), thì m=−2 và n=1. Do đó m−n=−2−1=−3. Giá trị này là cố định cho khoảng đồng biến lớn nhất.

Trong trường hợp này, nếu câu hỏi muốn tìm một giá trị cụ thể của m+n, thì nó phải là m=−2,n=1. Vậy m+n=−2+1=−1.

Câu 5: Tìm số nguyên a nhỏ nhất để hàm số f(x)=(x−1)e2x đồng biến trên (a;+∞).

Để hàm số đồng biến trên (a;+∞), ta cần f′(x)≥0 với mọi x∈(a;+∞). Đầu tiên, ta tính đạo hàm của f(x): f(x)=(x−1)e2x Đây là dạng (uv)′=u′v+uv′, với u=x−1 và v=e2x. u′=(x−1)′=1 v′=(e2x)′=e2x⋅(2x)′=2e2x

Vậy, f′(x)=1⋅e2x+(x−1)⋅2e2x f′(x)=e2x+2(x−1)e2x f′(x)=e2x(1+2(x−1)) f′(x)=e2x(1+2x−2) f′(x)=e2x(2x−1)

Để hàm số đồng biến, ta cần f′(x)≥0. e2x(2x−1)≥0 Vì e2x>0 với mọi x, nên ta chỉ cần xét 2x−1≥0: 2x≥1 x≥21​

Hàm số đồng biến trên khoảng [21​;+∞). Đề bài yêu cầu tìm số nguyên a nhỏ nhất để hàm số đồng biến trên (a;+∞). Điều này có nghĩa là (a;+∞) phải là tập con của [21​;+∞). Hay a≥21​.

Vì a là số nguyên và a≥21​, số nguyên a nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện này là a=1.

Vậy, số nguyên a nhỏ nhất là 1.