Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước chứng minh như sau:

### a) Chứng minh: Tứ giác \(ABOC\) nội tiếp và \(AO \perp BC\).

1. **Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp:**

- Vì \(AB\) và \(AC\) là hai tiếp tuyến nên \(\angle OAB = \angle OAC = 90^\circ\).
- Do đó, \(\angle OAB + \angle OAC = 180^\circ\).
- Theo định nghĩa, tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \(180^\circ\) thì nội tiếp. Vì vậy, tứ giác \(ABOC\) nội tiếp.

2. **Chứng minh \(AO \perp BC\):**

- Vì \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến bằng nhau xuất phát từ cùng một điểm) nên tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).
- Gọi \(H\) là giao điểm của \(AO\) và \(BC\). Trong tam giác \(ABC\) cân, \(AH\) cũng là đường phân giác của góc \(\angle BAC\).
- Do \(AB = AC\) và \(BH = HC\), thì \(AO\) cũng là đường trung trực của \(BC\). Vậy \(AO \perp BC\).

### b) Chứng minh: \(\angle FCE = \angle CBE\) và suy ra: \(CF^2 = FE \cdot FB\).

1. **Chứng minh \(\angle FCE = \angle CBE\):**

- Vì \(BD\) song song với \(AC\), nên \(\angle ABD = \angle DAC\) (hai góc so le trong).
- Tứ giác \(ABCE\) nội tiếp, từ đó \(\angle BAC = \angle BEC\).
- Ta suy ra: \(\angle FCE = \angle CBE\) do các góc cùng chắn cung \(BE\) và \(CE\).

2. **Suy ra \(CF^2 = FE \cdot FB\):**

- Từ kết quả \(\angle FCE = \angle CBE\), tứ giác \(CFBE\) có tính chất tứ giác nội tiếp.
- Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp, ta có: \(CF^2 = FE \cdot FB\).

### c) Giả sử \(\angle BCD = 30^\circ\). Tính \(CF\) theo \(R\).

- \(\angle BCD = 30^\circ\) suy ra tứ giác \(BODC\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\).
- Trong tam giác đều \(BDC\) (vì \(\angle BCD = \angle BDC = \angle DCB = 60^\circ\)), cạnh \(BD = DC = R\) (bán kính đường tròn).
- Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\), thì ta có trong tam giác vuông \(BHC\),
\[
BH = R \cdot \sin{30^\circ} = \frac{R}{2}
\]
- \(CH = \sqrt{BC^2 - BH^2} = \sqrt{R^2 - \left(\frac{R}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}R\).
- Áp dụng công thức trigonometric hoặc định lý Pythagore cho đoạn \(CF\) để suy ra \(CF = CH = \frac{\sqrt{3}}{2}R\).

Vậy, \(CF = \frac{\sqrt{3}}{2}R\).