Chúng ta sẽ tính đạo hàm của các hàm số và chứng minh hệ thức như sau:

**1. Tính đạo hàm:**

a) \( y = \cos x \cdot e^{2 \tan x} \)

Sử dụng quy tắc đạo hàm của tích hai hàm số: \( (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \).

Giả sử \( u = \cos x \) và \( v = e^{2 \tan x} \).

- Đạo hàm của \( u \): \( u' = -\sin x \).
- Đạo hàm của \( v \): \( v' = e^{2 \tan x} \cdot (2 \cdot \tan x)' = e^{2 \tan x} \cdot 2 \cdot \sec^2 x \).

Vậy, đạo hàm của \( y \) là:
\[
y' = (-\sin x) \cdot e^{2 \tan x} + \cos x \cdot e^{2 \tan x} \cdot 2 \cdot \sec^2 x
\]

b) \( y = \log_2(\sin x) \)

Sử dụng công thức đạo hàm của hàm logarit: \( (\log_a u)' = \frac{1}{u \ln a} \cdot u' \).

Giả sử \( u = \sin x \).

- Đạo hàm của \( u \): \( u' = \cos x \).

Vậy, đạo hàm của \( y \) là:
\[
y' = \frac{1}{\sin x \cdot \ln 2} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x \cdot \ln 2} = \frac{\cot x}{\ln 2}
\]

**2. Chứng minh hệ thức \( y''' - 13y' - 12y = 0 \) cho hàm số \( y = e^{4x} + 2e^{-x} \):**

Trước tiên, tính đạo hàm của \( y \):

- \( y' = 4e^{4x} - 2e^{-x} \)
- \( y'' = 16e^{4x} + 2e^{-x} \)
- \( y''' = 64e^{4x} - 2e^{-x} \)

Thay vào hệ thức:

\[
y''' - 13y' - 12y = (64e^{4x} - 2e^{-x}) - 13(4e^{4x} - 2e^{-x}) - 12(e^{4x} + 2e^{-x})
\]

\[
= 64e^{4x} - 2e^{-x} - 52e^{4x} + 26e^{-x} - 12e^{4x} - 24e^{-x}
\]

\[
= (64e^{4x} - 52e^{4x} - 12e^{4x}) + (-2e^{-x} + 26e^{-x} - 24e^{-x})
\]

\[
= 0
\]

Vậy, hệ thức \( y''' - 13y' - 12y = 0 \) được thỏa mãn.

Hy vọng những hướng dẫn trên có ích cho bạn.