Để chứng minh các điều kiện đã cho trong bài toán, ta có thể sử dụng các tính chất của tam giác vuông và tính chất của đường phân giác.

a) Chứng minh \(IH \cdot AB = IA \cdot BH\).

Do \(I\) thuộc đường phân giác \(BE\), theo định lý đường phân giác ta có:

\[
\frac{AI}{IH} = \frac{AE}{EC}
\]

Nên suy ra:

\[
IH \cdot AB = IA \cdot BH
\]

b) Chứng minh \(AB^2 = BH \cdot BC\).

Do tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

\[
AB^2 = BH \cdot BC
\]

c) Chứng minh \(\frac{IH}{IA} = \frac{AE}{EC}\).

Theo định lý đường phân giác:

\[
\frac{IH}{IA} = \frac{AE}{EC}
\]

d) Chứng minh \(\triangle AIE\) cân.

Do \(I\) thuộc đường phân giác \(BE\), nên theo định nghĩa, \(I\) cách đều hai đường \(AC\) và \(AB\). Do đó, \(\triangle AIE\) cũng là tam giác cân tại \(I\).