Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( D = (2x - 1)(x + 2)(x + 3)(2x + 1) \), ta cần phân tích cấu trúc và xem xét các điểm tới hạn của hàm số này.

Trước hết, hãy xem xét tính chẵn lẻ và đạo hàm của hàm số:

1. **Tính chất hàm số:**
- Hàm số \( D(x) \) là một đa thức bậc 4, và khi khai triển ra sẽ có dạng:
\[
D(x) = (2x - 1)(x + 2)(x + 3)(2x + 1) = (4x^2 - 1)((x + 2)(x + 3))
\]
- Khai triển tiếp:
\[
(x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6
\]
\[
D(x) = (4x^2 - 1)(x^2 + 5x + 6)
\]

2. **Tìm đạo hàm của hàm số:**
- Đạo hàm \( D'(x) \) là sự kết hợp của đạo hàm từng phần, sử dụng quy tắc tích:
\[
D(x) = 4x^4 + 20x^3 + 34x^2 + 20x + 6
\]
\[
D'(x) = 16x^3 + 60x^2 + 68x + 20
\]

3. **Tìm nghiệm của \( D'(x) = 0 \):**
- Tìm nghiệm của phương trình \( 16x^3 + 60x^2 + 68x + 20 = 0 \) là nhiệm vụ phức tạp và thường được thực hiện bằng cách thử nghiệm các nghiệm hữu tỉ hoặc dùng phương pháp số học.

4. **Khảo sát thêm:**
- Bên cạnh việc giải nghiệm của đạo hàm, bạn có thể sử dụng công cụ phần mềm hoặc nghiên cứu giá trị giới hạn, xét tính đồng biến/ nghịch biến của hàm số để tìm ra điểm tối thiểu cụ thể.

5. **Biểu đồ và đánh giá trực tiếp:**
- Sử dụng công cụ đồ thị như GeoGebra, Desmos để phác thảo đường cong của \( D(x) \) và xác định vùng xấp xỉ giá trị nhỏ nhất.

Vì là một hàm đa thức bậc 4 đối xứng với trục tung (bởi các hệ số bậc chẵn đối xứng), thường giá trị nhỏ nhất nằm trong khoảng giữa những nghiệm thực. Do đó, các phương pháp số hoặc phần mềm để tìm giá trị cụ thể thường hiệu quả hơn so với việc tính tay và loại trừ.

Nếu cần tính cụ thể giá trị nhỏ nhất bằng cách thủ công, có thể cần đi đến khan nghiệm số hoặc sử dụng phần mềm hỗ trợ tính toán.