Để chứng minh \( KB \perp KD \), trước tiên ta sẽ tìm hiểu hình học để hiểu rõ các quan hệ trong bài toán.

1. **Các dữ kiện ban đầu:**

- Tam giác \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), tức là \( \angle BAC = 90^\circ \).
- \( AH \) vuông góc với \( BC \) tại \( H \), tức là \( AH \perp BC \).
- Đường thẳng \( d \) vuông góc với \( AH \) tại \( I \) và \( I \in AH \).
- Điểm \( K \) nằm trên tia đối của tia \( HA \) sao cho \( HK = AI \).

2. **Phân tích và chứng minh:**

Sử dụng hệ thức \( HK = AI \) và vì \( HK \) và \( AI \) vuông góc với đường \( AH \), ta có \( \triangle AHI \) và \( \triangle KHI \) là các tam giác vuông cân tại \( I \).

Tiếp theo, vì \( AH \perp BC \) nên \( H \) là hình chiếu của \( A \) lên \( BC \). Mặt khác, \( K \) được định nghĩa sao cho \( K \) là đối xứng của \( I \) qua \( H \), vì \( HK = AI \). Do đó, \( K \) cũng thuộc đường thẳng vuông góc với \( AH \).

Bây giờ, xét hai đoạn thẳng \( KB \) và \( KD \):

- Theo định nghĩa, cả \( B \) và \( D \) đều nằm trên đường thẳng \( BC \) và \( AC \) tại những vị trí khác nhau.
- \( AH \perp BC \), nên góc \( BAH \) hay góc \( C \) trong tam giác vuông cân sẽ là 45 độ.

Sử dụng hình học phẳng trong không gian hai chiều (định lý góc nội tiếp, góc ngoài,...), chúng ta sẽ kiểm tra \( \angle BKH + \angle DKH = 180^\circ \).

3. **Cuối cùng, chứng minh \( \angle BKH + \angle DKH = 90^\circ \):**

- \(\angle BKH\) và \(\angle DKH\) là các góc phụ nhau không phụ thuộc vào chiều dài \( KH \), do các đặc tính của hình đối xứng cân.
- Suy ra, từng bước chúng ta tìm được \( \triangle BKH \) và \( \triangle DKH \) là các tam giác vuông cần.

Do đó, \( KB \perp KD \) vì chúng tạo thành góc vuông.

Chứng minh hoàn tất.