Để chứng minh \(\angle MAB = 90^\circ\), ta cần sử dụng định lý đường trung tuyến trong tam giác.

Trong tam giác \(ABC\), \(M\) là trung điểm của \(BC\). Ta có thông tin:

- \(AB = 3\, \text{cm}\)
- \(AC = 5\, \text{cm}\)
- \(AM = 2\, \text{cm}\)

Theo định lý đường trung tuyến, trong một tam giác \(ABC\) có đường trung tuyến \(AM\), công thức về đường trung tuyến là:

\[
AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + \frac{1}{2}BC^2
\]

Thay các giá trị vào công thức:

\[
3^2 + 5^2 = 2 \times 2^2 + \frac{1}{2}BC^2
\]

Tính toán phía trái:

\[
9 + 25 = 34
\]

Tính toán phía phải:

\[
2 \times 4 = 8
\]

Do đó, phương trình trở thành:

\[
34 = 8 + \frac{1}{2}BC^2
\]

Giải phương trình này:

\[
34 - 8 = \frac{1}{2}BC^2
\]
\[
26 = \frac{1}{2}BC^2
\]
\[
BC^2 = 52
\]

Như vậy, \(BC^2 = 52\).

Tiếp tục, ta cần kiểm tra điều kiện tam giác vuông tại \(A\) bằng cách sử dụng định lý Pythagore:

\[
AB^2 + AM^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13
\]

Ta kiểm tra xem:

\[
AM^2 = 2^2 = 4
\]

Tổng quát, nếu \(M\) là trung điểm, ta sẽ cần chứng minh góc \(MAB = 90^\circ\), với điều kiện đặc biệt:

AM là đoạn thẳng từ \(A\) tới trung điểm \(M\) của \(BC\), điều này ngụ ý rằng góc giữa chúng \((AB \text{ và } AM)\) tạo thành góc vuông.

Từ lập luận và tính toán này, chúng ta có thể suy ra \(\angle MAB = 90^\circ\) do điều kiện và định lý hình học đã minh chứng.