Để rút gọn các biểu thức sau, chúng ta sẽ thực hiện từng bước tính toán và phép biến đổi.

**d) \(\frac{2^2 \times 4 \times 32}{(-2)^2 \times 2^5}\)**

Bước 1: Biểu diễn tất cả các số dưới dạng luỹ thừa của 2.
- \(2^2 = 4\),
- \(4 = 2^2\),
- \(32 = 2^5\),
- \((-2)^2 = 4 = 2^2\).

Thay vào biểu thức:
\[
\frac{2^2 \times 2^2 \times 2^5}{2^2 \times 2^5} = \frac{2^{2+2+5}}{2^{2+5}} = \frac{2^9}{2^7}
\]

Bước 2: Tính kết quả:
- \(\frac{2^9}{2^7} = 2^{9-7} = 2^2 = 4\).

Kết quả rút gọn là 4.

**e) \(4 \times 16 : (2^3 \times \frac{1}{16})\)**

Bước 1: Biểu diễn tất cả các số dưới dạng luỹ thừa của 2.
- \(4 = 2^2\),
- \(16 = 2^4\),
- \(2^3 = 8\).

Thay vào biểu thức:
\[
4 \times 16 : (2^3 \times \frac{1}{16}) = 2^2 \times 2^4 : (2^3 \times 2^{-4})
\]

Bước 2: Thực hiện các phép tính luỹ thừa:
\[
2^{2+4} : (2^3 \times 2^{-4}) = 2^6 : 2^{-1} = 2^{6+1} = 2^7
\]

Bước 3: Tính kết quả:
- \(2^7 = 128\).

Kết quả rút gọn là 128.

**f) \(\frac{20^4 \times 27^3 + 4^4 \times 25^2 \times 81}{10^5 \times 162} - 16 \times 125 \times 27^3\)**

Bước 1: Biểu diễn tất cả các số theo luỹ thừa cơ bản.
- \(20 = 2^2 \times 5\),
- \(27 = 3^3\),
- \(4 = 2^2\),
- \(25 = 5^2\),
- \(81 = 3^4\),
- \(10 = 2 \times 5\),
- \(162 = 2 \times 81 = 2 \times 3^4\),
- \(16 = 2^4\),
- \(125 = 5^3\).

Thay vào biểu thức:
\[
\frac{(2^2 \times 5)^4 \times 3^9 + 2^8 \times 5^4 \times 3^4}{(2 \times 5)^5 \times 2 \times 3^4} - 2^4 \times 5^3 \times 3^9
\]

Bước 2: Tính và rút gọn số hạng tử trong phân số:
- Tử số: \((2^8 \times 5^4 \times 3^9) + (2^8 \times 5^4 \times 3^4)\).
- Mẫu số: \(2^6 \times 5^5 \times 3^4\).

Bước 3: Rút gọn:

Trong tử số, nhân tử chung là \(2^8 \times 5^4 \times 3^4\):
\[
2^8 \times 5^4 \times 3^4 (3^5 + 1)
\]

Rút gọn tử số:
\[
2^8 \times 5^4 \times 3^4 \times (3^5 + 1)
\]

Dùng mẫu số ta có:
\[
\frac{2^8 \times 5^4 \times 3^4 \times 244}{2^6 \times 5^5 \times 3^4} = \frac{2^2 \times 3^0 \times 244}{5}
\]

Bước 4: Thực hiện trừ:
\[
(\frac{2^2 \times 244}{5}) - (2^4 \times 5^3 \times 3^9)
\]

Rút gọn hai hàm không thể tiếp tục phép rút gọn đơn giản hơn nếu không cụ thể.
Kết quả cuối cùng đòi hỏi tính toán chi tiết hơn số hạng cụ thể hơn với đầu vào. Tổng quát cần tính hơn trong bước cụ thể.