Để giải các bài toán này, ta cần tìm các số nguyên thỏa mãn điều kiện chia hết hoặc phương trình đã cho.

**Bài 6:**

a) \(-13\) chia hết cho \((x+1)\):
Điều này có nghĩa là \(-13 = k(x+1)\) với \(k\) là một số nguyên.
Các ước của \(-13\) là \(\pm 1, \pm 13\). Vậy \(x+1\) có thể là \(1, -1, 13, -13\).
Từ đó, ta có các giá trị của \(x\):
1. \(x+1 = 1\) ⇒ \(x = 0\)
2. \(x+1 = -1\) ⇒ \(x = -2\)
3. \(x+1 = 13\) ⇒ \(x = 12\)
4. \(x+1 = -13\) ⇒ \(x = -14\)

b) \(x+5\) chia hết cho \(x-2\):
Điều này có nghĩa là \(x+5 = k(x-2)\) với \(k\) là một số nguyên.
Giải phương trình này ta có:
\(x + 5 = kx - 2k\)
\(x - kx = -2k - 5\)
\(x(1-k) = -2k - 5\)

Phương trình này khá phức tạp, ta có thể kiểm tra các giá trị nhỏ của \(k\) để tìm giá trị của \(x\):
1. \(k = 1\): Phương trình có dạng không giải được (\(x\) biến mất)
2. \(k = 2\): Phương trình không hợp lý, không tìm ra \(x\)
3. \(k = -1\): \(2x = 2 - 5\) ⇒ \(x = -3/2\), không là số nguyên.
4. Thay các giá trị nhỏ khác cho \(k\) cũng không tìm ra số nguyên \(x\).

Do điều kiện chia hết khá không thông thường, cần suy xét lại điều kiện hoặc cách tiếp cận riêng.

**Bài 7:**

a) \((x-3)(y+4) = 6\):
Ta cần tìm các cặp \((x, y)\) thỏa mãn phương trình.
Phân tích 6 thành các tích hai số nguyên:
1. \((x-3, y+4) = (1, 6)\) ⇒ \(x = 4, y = 2\)
2. \((x-3, y+4) = (-1, -6)\) ⇒ \(x = 2, y = -10\)
3. \((x-3, y+4) = (2, 3)\) ⇒ \(x = 5, y = -1\)
4. \((x-3, y+4) = (-2, -3)\) ⇒ \(x = 1, y = -7\)
5. \((x-3, y+4) = (3, 2)\) ⇒ \(x = 6, y = -2\)
6. \((x-3, y+4) = (-3, -2)\) ⇒ \(x = 0, y = -6\)
7. \((x-3, y+4) = (6, 1)\) ⇒ \(x = 9, y = -3\)
8. \((x-3, y+4) = (-6, -1)\) ⇒ \(x = -3, y = -5\)

b) \((x-2)(5y+1) = 12\):
Tương tự, giải phương trình bằng cách xét các cặp \((x-2, 5y+1)\) là các cặp thừa số của 12:
1. \((x-2, 5y+1) = (1, 12)\) ⇒ \(x = 3, y = \frac{11}{5}\) không là số nguyên
2. \((x-2, 5y+1) = (2, 6)\) ⇒ \(x = 4, y = 1\)
3. \((x-2, 5y+1) = (3, 4)\) ⇒ \(x = 5, y = \frac{3}{5}\) không là số nguyên
4. \((x-2, 5y+1) = (4, 3)\) ⇒ \(x = 6, y = \frac{1}{5}\) không là số nguyên
5. \((x-2, 5y+1) = (6, 2)\) ⇒ \(x = 8, y = \frac{1}{5}\) không là số nguyên
6. \((x-2, 5y+1) = (12, 1)\) ⇒ \(x = 14, y = 0\)
7. \((x-2, 5y+1) = (-1, -12)\) ⇒ \(x = 1, y = -\frac{13}{5}\) không là số nguyên
8. \((x-2, 5y+1) = (-2, -6)\) ⇒ \(x = 0, y = -\frac{7}{5}\) không là số nguyên
9. \((x-2, 5y+1) = (-3, -4)\) ⇒ \(x = -1, y = -1\)
10. \((x-2, 5y+1) = (-4, -3)\) ⇒ \(x = -2, y = -\frac{4}{5}\) không là số nguyên
11. \((x-2, 5y+1) = (-6, -2)\) ⇒ \(x = -4, y = -\frac{3}{5}\) không là số nguyên
12. \((x-2, 5y+1) = (-12, -1)\) ⇒ \(x = -10, y = 0\)

Vậy, các nghiệm nguyên cho mỗi hệ phương trình là:
- Bài 7a: \((4, 2), (2, -10), (5, -1), (1, -7), (6, -2), (0, -6), (9, -3), (-3, -5)\)
- Bài 7b: \((4, 1), (14, 0), (-1, -1), (-10, 0)\)