Để giải các bất phương trình này, chúng ta cần xem xét từng trường hợp riêng lẻ.

a) \( (x-3)(x+2) \geq 0 \)

Đầu tiên, xác định các giá trị mà biểu thức chuyển dấu, cụ thể là \( x = 3 \) và \( x = -2 \). Xem xét các khoảng:

1. \( x \leq -2 \): Cả hai biểu thức đều âm, tích là dương.
2. \( -2 < x < 3 \): Một âm, một dương, tích là âm.
3. \( x \geq 3 \): Cả hai biểu thức đều dương, tích là dương.

Kết hợp lại ta có nghiệm: \( x \leq -2 \) hoặc \( x \geq 3 \).

b) \( 9x^2 - 4 \leq 0 \)

Viết lại dưới dạng hằng đẳng thức:
\[ (3x - 2)(3x + 2) \leq 0 \]

Các giá trị chuyển dấu là \( x = \frac{2}{3} \) và \( x = -\frac{2}{3} \). Xem xét các khoảng:

1. \( x < -\frac{2}{3} \): Cả hai đều âm, tích dương.
2. \( -\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{2}{3} \): Một âm một dương, tích âm.
3. \( x > \frac{2}{3} \): Cả hai đều dương, tích dương.

Kết hợp lại ta có nghiệm: \( -\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{2}{3} \).

c) \( \frac{x-1}{x+2} < 0 \)

Vị trí chuyển dấu là \( x = 1 \) và \( x = -2 \). Xem xét các khoảng:

1. \( x < -2 \): Cả hai đều âm, phân số dương.
2. \( -2 < x < 1 \): Một âm một dương, phân số âm.
3. \( x > 1 \): Cả hai đều dương, phân số dương.

Kết hợp lại ta có nghiệm: \( -2 < x < 1 \).

d) \( \frac{3x+5}{x-2} \geq 0 \)

Vị trí mà phân thức bằng 0 hoặc chuyển dấu là \( x = -\frac{5}{3} \) và \( x = 2 \). Xem xét các khoảng:

1. \( x < -\frac{5}{3} \): Cả hai đều âm, phân số dương.
2. \( -\frac{5}{3} \leq x < 2 \): Một âm một dương, phân số âm.
3. \( x > 2 \): Cả hai đều dương, phân số dương.

Kết hợp lại ta có nghiệm: \( x \leq -\frac{5}{3} \) hoặc \( x > 2 \).

e) \( x^2 - 8x + 15 \geq 0 \)

Viết lại dưới dạng (x-x1)(x-x2) với nghiệm \( x_1 = 3 \), \( x_2 = 5 \):
\[ (x-3)(x-5) \geq 0 \]

Xem xét các khoảng:

1. \( x < 3 \): Cả hai đều âm, tích dương.
2. \( 3 \leq x \leq 5 \): Một âm, một dương, tích âm.
3. \( x > 5 \): Cả hai đều dương, tích dương.

Kết hợp lại ta có nghiệm: \( x \leq 3 \) hoặc \( x \geq 5 \).

f) \( \frac{x-3}{x+2} \geq \frac{1}{2} \)

Chuyển về dạng thuận tiện hơn: \( \frac{x-3}{x+2} - \frac{1}{2} \geq 0 \)

Giải phương trình:
\[\frac{2(x-3) - (x+2)}{2(x+2)} \geq 0 \]
\[\frac{x-8}{2(x+2)} \geq 0 \]

Xét các điểm chuyển dấu là \( x = 8 \) và \( x = -2 \). Xem xét các khoảng:

1. \( x < -2 \): Cả hai đều âm, phân số dương.
2. \( -2 < x < 8 \): Một âm một dương, phân số âm.
3. \( x > 8 \): Cả hai đều dương, phân số dương.

Kết hợp lại ta có nghiệm: \( x \leq -2 \) hoặc \( x \geq 8 \).

Hy vọng những bước giải trên có thể giúp bạn tìm ra các nghiệm một cách chính xác!