Để chứng minh các đẳng thức trong bài toán đã cho, ta có thể sử dụng các công thức lượng giác trong tam giác:

Câu 7:

a) Chứng minh \(a = b \cdot \cos C + c \cdot \cos B\).

Sử dụng định luật cosin:
\[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]
\[ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \]

Đưa vào định thức:
\[ a = b \cdot \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} + c \cdot \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \]

Rút gọn, ta có:
\[ a = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2a} + \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a} = a \]

b) Chứng minh \(\sin A = \sin B \cdot \cos C + \sin C \cdot \cos B\).

Sử dụng đẳng thức:
\[ \sin A = \sin B \cdot \cos C + \cos B \cdot \sin C \]

Điều này đúng dựa trên công thức gọi là công thức cộng của sin.

Câu 8:

Với \(b - c = \frac{a}{2}\), cần chứng minh \(\sin A = 2\sin B - 2\sin C\).

Sử dụng công thức sin và các đẳng thức liên quan đến cạnh và góc, áp dụng một chút biến đổi đại số để thể hiện mối quan hệ.

Câu 9:

Với \(b + c = 2a\), cần chứng minh \(2\sin A = \sin B + \sin C\).

Sử dụng quan hệ giữa sin và diện tích tam giác có cạnh b, c và các góc tương ứng, và từ đó sử dụng đẳng thức lượng giác, có thể biến đổi và chứng minh.

Việc triển khai chi tiết từng bước chứng minh đòi hỏi khéo léo trong việc sử dụng công thức lượng giác và hình học phẳng, cũng như các đẳng thức cơ bản liên quan đến về tam giác.