Để rút gọn biểu thức \(\sqrt{7+4\sqrt{3}} - \sqrt{12-6\sqrt{3}}\), ta cần biểu diễn từng căn bậc hai dưới dạng đơn giản hơn.

Bước 1: Rút gọn \(\sqrt{7+4\sqrt{3}}\).

Giả sử \(\sqrt{7+4\sqrt{3}} = a + b\sqrt{3}\), khi đó:

\[
(a + b\sqrt{3})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{3} + 3b^2
\]

Tương đương:

\[
a^2 + 3b^2 + 2ab\sqrt{3} = 7 + 4\sqrt{3}
\]

So sánh hai vế, ta có hệ phương trình:

1. \(a^2 + 3b^2 = 7\)
2. \(2ab = 4\), suy ra \(ab = 2\).

Từ \(ab = 2\), suy ra \(b = \frac{2}{a}\).

Thay vào phương trình 1:

\[
a^2 + 3\left(\frac{2}{a}\right)^2 = 7
\]

\[
a^2 + \frac{12}{a^2} = 7
\]

Đặt \(x = a^2\), ta có phương trình:

\[
x + \frac{12}{x} = 7
\]

\[
x^2 - 7x + 12 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2} = \frac{7 \pm 1}{2}
\]

\[
x = 4 \quad \text{hoặc} \quad x = 3
\]

Nếu \(x = 4\), thì \(a = 2\), \(b = 1\).

Nếu \(x = 3\), thì \(a = \sqrt{3}\), \(b = \frac{2}{\sqrt{3}}\).

Chọn \(a = 2\), \(b = 1\) vì phù hợp với điều kiện tìm kiếm.

Vậy \(\sqrt{7+4\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}\).

Bước 2: Rút gọn \(\sqrt{12-6\sqrt{3}}\).

Giả sử \(\sqrt{12-6\sqrt{3}} = c + d\sqrt{3}\), khi đó:

\[
(c + d\sqrt{3})^2 = c^2 + 2cd\sqrt{3} + 3d^2
\]

Tương đương:

\[
c^2 + 3d^2 + 2cd\sqrt{3} = 12 - 6\sqrt{3}
\]

So sánh hai vế, ta có hệ phương trình:

1. \(c^2 + 3d^2 = 12\)
2. \(2cd = -6\), suy ra \(cd = -3\).

Từ \(cd = -3\), suy ra \(d = \frac{-3}{c}\).

Thay vào phương trình 1:

\[
c^2 + 3\left(\frac{-3}{c}\right)^2 = 12
\]

\[
c^2 + \frac{27}{c^2} = 12
\]

Đặt \(x = c^2\), ta có phương trình:

\[
x + \frac{27}{x} = 12
\]

\[
x^2 - 12x + 27 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{2}
\]

\[
x = 9 \quad \text{hoặc} \quad x = 3
\]

Nếu \(x = 9\), thì \(c = 3\), \(d = -1\).

Nếu \(x = 3\), thì \(c = \sqrt{3}\), \(d = -\sqrt{3}\).

Chọn \(c = 3\), \(d = -1\) phù hợp với điều kiện tìm kiếm.

Vậy \(\sqrt{12-6\sqrt{3}} = 3 - \sqrt{3}\).

Bước 3: Tính \(\sqrt{7+4\sqrt{3}} - \sqrt{12-6\sqrt{3}}\).

\[
(2+\sqrt{3}) - (3-\sqrt{3}) = 2+\sqrt{3} - 3 + \sqrt{3} = -1 + 2\sqrt{3}
\]

Vậy biểu thức đã rút gọn là:

\[
-1 + 2\sqrt{3}
\]