Để giải các phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta cần xét các trường hợp của biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối.

**a) \(|4 + 2x| = -4x\):**

Trường hợp 1: \(4 + 2x \geq 0\)

\[4 + 2x = -4x\]

\[6x = -4\]

\[x = -\frac{2}{3}\]

Kiểm tra lại điều kiện: \(4 + 2 \cdot -\frac{2}{3} = \frac{8}{3} \geq 0\). Thỏa mãn.

Trường hợp 2: \(4 + 2x < 0\)

\[-(4 + 2x) = -4x\]

\[-4 - 2x = -4x\]

\[2x = 4\]

\[x = 2\]

Kiểm tra lại điều kiện: \(4 + 2 \cdot 2 = 8 < 0\). Không hợp lý.

Kết luận: \(x = -\frac{2}{3}\)


**b) \(|3x - 1| + 2 = x\):**

Trường hợp 1: \(3x - 1 \geq 0\)

\[3x - 1 + 2 = x\]

\[2x = -1\]

\[x = -\frac{1}{2}\]

Kiểm tra lại điều kiện: \(3 \cdot -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2} - 1 \geq 0\). Không hợp lý.


Trường hợp 2: \(3x - 1 < 0\)

\[-(3x - 1) + 2 = x\]

\[-3x + 1 + 2 = x\]

\[-3x + 3 = x\]

\[-4x = -3\]

\[x = \frac{3}{4}\]

Kiểm tra lại điều kiện: \(3 \cdot \frac{3}{4} - 1 = \frac{9}{4} - 1 < 0\). Thỏa mãn.

Kết luận: \(x = \frac{3}{4}\)


**c) \(|x + 15| + 1 = 3x\):**

Trường hợp 1: \(x + 15 \geq 0\)

\[x + 15 + 1 = 3x\]

\[x + 16 = 3x\]

\[2x = 16\]

\[x = 8\]

Kiểm tra lại điều kiện: \(8 + 15 = 23 \geq 0\). Thỏa mãn.

Trường hợp 2: \(x + 15 < 0\)

\[-(x + 15) + 1 = 3x\]

\[-x - 15 + 1 = 3x\]

\[-x - 14 = 3x\]

\[-4x = 14\]

\[x = -\frac{7}{2}\]

Kiểm tra lại điều kiện: \(-\frac{7}{2} + 15 < 0\). Không hợp lý.

Kết luận: \(x = 8\)


**d) \(|7 - x| = 5x + 1\):**

Trường hợp 1: \(7 - x \geq 0\)

\[7 - x = 5x + 1\]

\[7 - 1 = 6x\]

\[x = 1\]

Kiểm tra lại điều kiện: \(7 - 1 \geq 0\). Thỏa mãn.

Trường hợp 2: \(7 - x < 0\)

\[-(7 - x) = 5x + 1\]

\[-7 + x = 5x + 1\]

\[x - 5x = 1 + 7\]

\[-4x = 8\]

\[x = -2\]

Kiểm tra lại điều kiện: \(7 - (-2) < 0\). Không hợp lý.

Kết luận: \(x = 1\)


**e) \(|5x| = x - 12\):**

Trường hợp 1: \(5x \geq 0\)

\[5x = x - 12\]

\[4x = -12\]

\[x = -3\]

Kiểm tra lại điều kiện: \(5 \cdot -3 \geq 0\). Không hợp lý.


Trường hợp 2: \(5x < 0\)

\[-5x = x - 12\]

\[-6x = -12\]

\[x = 2\]

Kiểm tra lại điều kiện: \(5 \cdot 2 < 0\). Không hợp lý.

Kết luận: Không có nghiệm.


**f) \(|2x - 3| + x = 21\):**

Trường hợp 1: \(2x - 3 \geq 0\)

\[2x - 3 + x = 21\]

\[3x = 24\]

\[x = 8\]

Kiểm tra lại điều kiện: \(2 \cdot 8 - 3 \geq 0\). Thỏa mãn.

Trường hợp 2: \(2x - 3 < 0\)

\[-(2x - 3) + x = 21\]

\[-2x + 3 + x = 21\]

\[-x + 3 = 21\]

\[x = -18\]

Kiểm tra lại điều kiện: \(2 \cdot -18 - 3 < 0\). Không hợp lý.

Kết luận: \(x = 8\)

Các lời giải cho các phương trình là:

a) \(x = -\frac{2}{3}\)

b) \(x = \frac{3}{4}\)

c) \(x = 8\)

d) \(x = 1\)

e) Không có nghiệm.

f) \(x = 8\)