Bài tập này bao gồm các câu hỏi liên quan đến phương trình và bất phương trình. Chúng ta sẽ đi qua từng bài để giải:

**Bài 13:** Ta có các số nguyên dương \( a, b, c \) thỏa mãn:

\[
\frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{7abc}
\]

Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số \( a, b, c \) là bình phương của một số hữu tỉ.

**Giải:**
Chuyển vế và quy đồng:

\[
7abc = 7bc + 7ac + 7ab + 1
\]

Ta nhận thấy vế trái và vế phải là tích của các số nguyên dương, nên tự nhiên có thể suy ra điều kiện về bình phương.

**Bài 14:** Cho \( x, y \) thực dương thỏa mãn:

\[
(x + \sqrt{x^2 + 1})(y + \sqrt{y^2 + 1}) = 1
\]

Tính giá trị của \( B = x^2 + y^2 \).

**Giải:**
Sử dụng nhân tử hỗn hợp:

\( x + \sqrt{x^2 + 1} = \frac{1}{y + \sqrt{y^2 + 1}} \).

Đặt \( x + \sqrt{x^2 + 1} = a \) và \( y + \sqrt{y^2 + 1} = \frac{1}{a} \).

Từ đó \( x^2 + y^2 = \frac{a^2 + 1}{a^2} + \frac{1+a^2}{1} - 2 = 0\), suy luận thêm ta tính được giá trị của \( B \).

**Bài 15:** Với các số thực dương \( a, b, c, d \) thỏa mãn:

\[
a = 1 + \frac{1}{b+1}, \quad b = 2 + \frac{1}{c+2}, \quad c = 3 + \frac{1}{d+3}, \quad d = 4 + \frac{1}{a+4}
\]

Chứng minh rằng:

\[
a = b = c = d
\]

**Giải:** Sử dụng định lý giá trị trung bình và phương pháp giải gần đúng để chỉ ra rằng các giá trị đều bằng nhau.

**Bài 16:** Cho \( a, b, c \) là các số thực khác 0 thỏa mãn:

\[
a^{-1} = b - b^{-1} = c - c^{-1} = a - 1
\]

Tính giá trị của biểu thức:

\[
P = a\sqrt{a - 1} + b\sqrt{b - 1} + c\sqrt{c - 1}
\]

**Giải:**
Sử dụng phương pháp giải hệ phương trình để xác định các giá trị của \( a, b, c \), sau đó thế vào biểu thức P để tìm giá trị.

Trên đây tóm gọn phần giải các bài. Để chi tiết cụ thể hơn, cần thực hiện từng bước tính toán cụ thể cũng như phương pháp chứng minh thích hợp.