Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( p = \frac{3\sqrt{x} + 3}{x + \sqrt{x} + 4} \) với \( x \geq 0 \), ta sẽ sử dụng đạo hàm để tìm các điểm cực trị của hàm số. Trước tiên, hãy biến đổi biểu thức cho dễ nhìn hơn:

Hãy đặt \( y = \sqrt{x} \), tức là \( x = y^2 \). Từ đó, chúng ta có:
\[ p = \frac{3y + 3}{y^2 + y + 4}. \]

Bây giờ, tìm đạo hàm của \( p \) theo \( y \):
\[ p' = \frac{(3)(y^2 + y + 4) - (3y + 3)(2y + 1)}{(y^2 + y + 4)^2}. \]

Rút gọn tử số:
\[ 3y^2 + 3y + 12 - (6y^2 + 3y + 6y + 3) = 3y^2 + 3y + 12 - 6y^2 - 9y - 3 = -3y^2 - 6y + 9. \]

Gọi tử số là \( -3(y^2 + 2y - 3) \). Phân tích:
\[ y^2 + 2y - 3 = (y + 3)(y - 1). \]

Do đó, \( p' = \frac{-3(y + 3)(y - 1)}{(y^2 + y + 4)^2} \).

Để tìm các điểm cực trị, giải phương trình \( p' = 0 \):
\[ -3(y + 3)(y - 1) = 0. \]

Vậy \( y = -3 \) hoặc \( y = 1 \). Tuy nhiên, vì \( y = \sqrt{x} \geq 0 \), nên chỉ có \( y = 1 \) là giá trị cần xét.

Tại \( y = 1 \), tức là \( x = 1 \), giá trị của hàm số là:
\[ p = \frac{3 \times 1 + 3}{1^2 + 1 + 4} = \frac{6}{6} = 1. \]

Ngoài ra, xét giới hạn khi \( x \to \infty \):
\[ p = \frac{3\sqrt{x} + 3}{x + \sqrt{x} + 4} \sim \frac{3\sqrt{x}}{x} = \frac{3}{\sqrt{x}} \to 0. \]

Do đó, giá trị lớn nhất của \( p \) trên khoảng \( x \geq 0 \) là \( \boxed{1} \).