Để tính độ dài cạnh BC trong tam giác ABC với các thông tin đã cho, chúng ta sẽ sử dụng định lý hàm số cosin. Tam giác ABC có:

- AC = 4 cm
- Góc A = 60°
- Góc B = 45°

Đầu tiên, ta cần xác định góc C. Tổng ba góc trong tam giác là 180°, nên:

\[ C = 180° - A - B = 180° - 60° - 45° = 75° \]

Bây giờ chúng ta sử dụng định lý hàm số cosin để tính độ dài cạnh BC (ký hiệu là a):

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A) \]

Trong đó b và c lần lượt là độ dài của cạnh AC và cạnh AB.

Tuy nhiên, do chúng ta chưa biết chiều dài của AB và chỉ có độ dài của AC, ta sẽ dùng định lý hàm số cosin khác dựa trên góc C với cạnh đối diện BC:

Giả sử BC là cạnh đối diện với góc C (độ dài a):

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(C) \]

Ta cần tìm cách tính cạnh AB nữa. Vì góc A và góc B đã cho, ta có thể dùng định lý hàm số sin để giải tiếp.

Sử dụng định lý hàm số sin, ta có:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Biến AC là c, vậy:

\[ \frac{4}{\sin 60°} = \frac{BC}{\sin 45°} \]

Từ đó, tính BC:

\[ BC = \frac{4 \cdot \sin 45°}{\sin 60°} \]

Biết rằng:

\[ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Thay vào biểu thức:

\[ BC = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{2} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \]

Đơn giản hóa:

\[ BC = \frac{4 \sqrt{6}}{3} \]

Vậy, độ dài cạnh BC là \(\frac{4 \sqrt{6}}{3}\) cm.