Để giải bài toán này, chúng ta có biểu thức:

\[
\alpha = \left( \frac{1}{y - \sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{y} - 1} \right) : \frac{\sqrt{y} + 1}{y - 2\sqrt{y} + 1}
\]

### a) Rút gọn \(\alpha\):

Ta thấy:

- Tử số của phân số cần rút gọn: \(\frac{1}{y - \sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{y} - 1}\)

- Tìm mẫu số chung: \((y - \sqrt{y})(\sqrt{y} - 1)\)

- Rút gọn tử: \((\sqrt{y} - 1) + (y - \sqrt{y})\)

- Kết quả: \(\frac{y - \sqrt{y} + \sqrt{y} - 1}{(y - \sqrt{y})(\sqrt{y} - 1)} = \frac{y - 1}{(y-\sqrt{y})(\sqrt{y}-1)}\)

- Mẫu số của phân số cần rút gọn: \(\frac{\sqrt{y} + 1}{y - 2\sqrt{y} + 1}\)

- Ta nhận thấy: \(y - 2\sqrt{y} + 1 = (\sqrt{y} - 1)^2\)

- Rút gọn phân số này ta được: \(\frac{\sqrt{y} + 1}{(\sqrt{y} - 1)^2}\)

Khi thực hiện phép chia hai phân số trên:

\[
\alpha = \frac{y-1}{(y-\sqrt{y})(\sqrt{y}-1)} \times \frac{(\sqrt{y} - 1)^2}{\sqrt{y} + 1} = \frac{(y-1)(\sqrt{y}-1)}{(y-\sqrt{y})(\sqrt{y}+1)}
\]

### b) Tính giá trị của \(\alpha\) khi \(y = 3 + 2\sqrt{2}\):

- Tính \(\sqrt{y}\):

\[
\sqrt{y} = \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} = \sqrt{2} + 1
\]

- Thay vào biểu thức \(\alpha\):

\[
y - 1 = (3 + 2\sqrt{2}) - 1 = 2 + 2\sqrt{2} = 2(\sqrt{2} + 1)
\]

\[
y - \sqrt{y} = (3 + 2\sqrt{2}) - (\sqrt{2} + 1) = 2 + \sqrt{2} = (\sqrt{2}+1)^2 - (\sqrt{2}+1) = (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2})
\]

\[
\alpha = \frac{2(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}
\]

Rút gọn:

\[
\alpha = \frac{2(\sqrt{2} + 1 - 1)}{4(\sqrt{2} + 1)} = 1
\]

Vậy giá trị của \(\alpha\) khi \(y = 3 + 2\sqrt{2}\) là 1.