Để giải các bất phương trình bậc nhất trong từng trường hợp, chúng ta cần xác định dấu của từng nhân tử và từ đó suy ra khoảng giá trị của \( x \) thoả mãn bất phương trình đã cho.

### a) \((x - 2) \cdot (x + 3) > 0\)

Phân tích dấu:
- \( x - 2 = 0 \) tại \( x = 2 \)
- \( x + 3 = 0 \) tại \( x = -3 \)

Hai điểm này chia trục số thành các khoảng: \((-\infty, -3)\), \((-3, 2)\), và \((2, +\infty)\).

Xét dấu của tích trong từng khoảng này:
- \((-\infty, -3)\): chọn điểm \( x = -4 \), ta có \((x-2)(x+3) = (-4-2)(-4+3) = (-6)(-1) = 6 > 0\)
- \((-3, 2)\): chọn điểm \( x = 0 \), ta có \((x-2)(x+3) = (0-2)(0+3) = (-2)(3) = -6 < 0\)
- \((2, +\infty)\): chọn điểm \( x = 3 \), ta có \((x-2)(x+3) = (3-2)(3+3) = (1)(6) = 6 > 0\)

Giá trị \( x \) thoả mãn: \( x \in (-\infty, -3) \cup (2, +\infty) \).

### b) \((2x - 1) \cdot (-x + 1) > 0\)

Phân tích dấu:
- \( 2x - 1 = 0 \) khi \( x = \frac{1}{2} \)
- \( -x + 1 = 0 \) khi \( x = 1 \)

Hai điểm này chia trục số thành các khoảng: \((-\infty, \frac{1}{2})\), \((\frac{1}{2}, 1)\), và \((1, +\infty)\).

Xét dấu của tích trong từng khoảng này:
- \((-\infty, \frac{1}{2})\): chọn điểm \( x = 0 \), ta có \((2x-1)(-x+1) = (2(0)-1)(-0+1) = (-1)(1) = -1 < 0\)
- \((\frac{1}{2}, 1)\): chọn điểm \( x = \frac{3}{4} \), ta có \((2x-1)(-x+1) = (2(\frac{3}{4})-1)(-\frac{3}{4}+1) = (\frac{3}{2}-1)(\frac{1}{4}) = (\frac{1}{2})(\frac{1}{4}) = \frac{1}{8} > 0\)
- \((1, +\infty)\): chọn điểm \( x = 2 \), ta có \((2x-1)(-x+1) = (2(2)-1)(-2+1) = (4-1)(-1) = 3(-1) = -3 < 0\)

Giá trị \( x \) thoả mãn: \( x \in \left(\frac{1}{2}, 1\right) \).

### c) \((x + 1) \cdot (3x - 6) < 0\)

Phân tích dấu:
- \( x + 1 = 0 \) khi \( x = -1 \)
- \( 3x - 6 = 0 \) khi \( x = 2 \)

Hai điểm này chia trục số thành các khoảng: \((-\infty, -1)\), \((-1, 2)\), và \((2, +\infty)\).

Xét dấu của tích trong từng khoảng này:
- \((-\infty, -1)\): chọn điểm \( x = -2 \), ta có \((x+1)(3x-6) = (-2+1)(3(-2)-6) = (-1)(-12) = 12 > 0\)
- \((-1, 2)\): chọn điểm \( x = 0 \), ta có \((x+1)(3x-6) = (0+1)(3(0)-6) = (1)(-6) = -6 < 0\)
- \((2, +\infty)\): chọn điểm \( x = 3 \), ta có \((x+1)(3x-6) = (3+1)(3(3)-6) = (4)(9-6) = (4)(3) = 12 > 0\)

Giá trị \( x \) thoả mãn: \( x \in (-1, 2) \).

Tóm lại:
- \( x \in (-\infty, -3) \cup (2, +\infty) \) cho câu a.
- \( x \in \left(\frac{1}{2}, 1\right) \) cho câu b.
- \( x \in (-1, 2) \) cho câu c.