Để tìm x trong các bất phương trình này, ta sẽ xét từng bất phương trình một.

### a) \((x - 2) \cdot (x + 3) > 0\)

Để giải bất phương trình \((x - 2) \cdot (x + 3) > 0\), ta xét các giá trị làm tử số và mẫu số bằng 0:
- \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
- \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)

Ta có các điểm quan trọng là \(x = -3\) và \(x = 2\). Các khoảng cần xét là: \((-∞, -3)\), \((-3, 2)\), \((2, ∞)\).

Ta kiểm tra dấu của biểu thức trên từng khoảng:
- Trên khoảng \((-∞, -3)\): chọn \(x = -4\), ta có \((-4 - 2) \times (-4 + 3) = -6 \times (-1) > 0\).
- Trên khoảng \((-3, 2)\): chọn \(x = 0\), ta có \((0 - 2) \times (0 + 3) = -2 \times 3 < 0\).
- Trên khoảng \((2, ∞)\): chọn \(x = 3\), ta có \((3 - 2) \times (3 + 3) = 1 \times 6 > 0\).

Kết luận: Bất phương trình đúng trên các khoảng \((-∞, -3)\) và \((2, ∞)\).

### b) \((2x - 1) \cdot (-x + 1) > 0\)

Giải bất phương trình \((2x - 1) \cdot (-x + 1) > 0\) bằng cách xét nghiệm:
- \(2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\)
- \(-x + 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)

Các điểm cần xét là \(x = \frac{1}{2}\) và \(x = 1\), với các khoảng: \((-∞, \frac{1}{2})\), \((\frac{1}{2}, 1)\), \((1, ∞)\).

Kiểm tra từng khoảng:
- Trên khoảng \((-∞, \frac{1}{2})\): chọn \(x = 0\), ta có \((2 \cdot 0 - 1) \times (-0 + 1) = -1 \times 1 < 0\).
- Trên khoảng \((\frac{1}{2}, 1)\): chọn \(x = 0.75\), ta có \((2 \cdot 0.75 - 1) \times (-0.75 + 1) = 0.5 \times 0.25 > 0\).
- Trên khoảng \((1, ∞)\): chọn \(x = 2\), ta có \((2 \cdot 2 - 1) \times (-2 + 1) = 3 \times -1 < 0\).

Kết luận: Bất phương trình đúng trên khoảng \((\frac{1}{2}, 1)\).

### c) \((x + 1) \cdot (3x - 6) < 0\)

Giải bất phương trình \((x + 1) \cdot (3x - 6) < 0\):
- \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\)
- \(3x - 6 = 0 \Rightarrow x = 2\)

Các khoảng là: \((-∞, -1)\), \((-1, 2)\), \((2, ∞)\).

Kiểm tra dấu trên các khoảng:
- Trên khoảng \((-∞, -1)\): chọn \(x = -2\), ta có \((-2 + 1) \cdot (3 \cdot (-2) - 6) = -1 \cdot -12 > 0\).
- Trên khoảng \((-1, 2)\): chọn \(x = 0\), ta có \((0 + 1) \cdot (3 \cdot 0 - 6) = 1 \cdot -6 < 0\).
- Trên khoảng \((2, ∞)\): chọn \(x = 3\), ta có \((3 + 1) \cdot (3 \cdot 3 - 6) = 4 \cdot 3 > 0\).

Kết luận: Bất phương trình đúng trên khoảng \((-1, 2)\).

Tóm lại, kết quả cho từng trường hợp là:
- a) \(x \in (-∞, -3) \cup (2, ∞)\)
- b) \(x \in (\frac{1}{2}, 1)\)
- c) \(x \in (-1, 2)\)