Đây là một bài toán rút gọn biểu thức trong lượng giác. Mình sẽ giúp bạn rút gọn từng biểu thức:

### Bài 4:

**b)**
Biểu thức ban đầu là:
\[ B = \sin^2\left(\frac{\pi}{8} + \frac{x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8} - \frac{x}{2}\right) \]

Sử dụng công thức hiệu hai bình phương:
\[ \sin^2 A - \sin^2 B = (\sin A - \sin B)(\sin A + \sin B) \]

Sau đó, áp dụng công thức hiệu và tổng các góc, rút gọn tiếp.

**c)**
Biểu thức ban đầu là:
\[ C = \frac{\sin x + \sin 4x + \sin 7x}{\cos x + \cos 4x + \cos 7x} \]

Sử dụng công thức tổ hợp các góc:
\[ \sin a + \sin b + \sin c = 4 \sin \left( \frac{a+b+c}{3} \right) \cos \left( \frac{a-b}{2} \right) \cos \left( \frac{b-c}{2} \right) \]

Và tương tự cho cos.

**d)**
Biểu thức là:
\[ D = \sqrt{1 - \sin 2x + \sqrt{1 + \sin 2x}} \]

Sử dụng công thức:
\[ \sqrt{1 \pm \sin 2x} = \sqrt{\frac{1 + \cos2x}{2}} \]
Và sau đó, rút gọn.

### Bài 5:

**a)**
Chứng minh:
\[ \sin(a + b), \cos b - \sin(a + c), \cos c = \sin(b - c), \cos(a + b + c) \]

Sử dụng các công thức cộng góc trong lượng giác để đưa hai vế về dạng giống nhau.

**b)**
Chứng minh:
\[ \cos(a + b) \cdot \sin(a - b) + \cos(b + c) \cdot \sin(b - c) + \cos(c + d) \cdot \sin(c - d) = \cos(a + d)\sin(a - d) \]

Sử dụng các công thức cộng và hiệu trong lượng giác.

**c)**
Chứng minh:
\[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + a\right) - \tan\left(\frac{\pi}{4} - a\right) = 2 \cdot \tan 2a \]

Sử dụng công thức:
\[ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} \]

Với mỗi biểu thức, bạn sẽ cần áp dụng các công thức lượng giác phù hợp để rút gọn và chứng minh.